Tesis:
Algunos aspectos del caos en sistemas dinámicos con más de 2 grados de libertad
- Autor: MONTES MALDONADO, Javier
- Título: Algunos aspectos del caos en sistemas dinámicos con más de 2 grados de libertad
- Fecha: 2020
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S. DE INGENIERÍA AGRONÓMICA, ALIMENTARIA Y DE BIOSISTEMAS
- Departamentos: INGENIERIA FORESTAL
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/65787/
- Director/a 1º: BORONDO RODRÍGUEZ, Florentino
- Director/a 2º: REVUELTA PEÑA, Fabio
- Resumen: En esta Tesis Doctoral se estudian dos sistemas físicos realistas con, al menos, dos grados de libertad. El primero es la gota caminante (del inglés walking droplet), que consiste en una gota milimétrica de líquido que rebota sobre la superficie vibrante del mismo fluido, deformándola y generando así un campo ondulatorio que la autopropulsa. El segundo es la dispersión elástica e inelástica de átomos por superficies metálicas corrugadas. Además se presenta un nuevo método basado en descriptores lagrangianos para la caracterización de los toros invariantes presentes en las regiones regulares de sistemas dinámicos, y se aplica este nuevo método, así como el original, al estudio del segundo de estos sistemas. El trabajo realizado para cada uno de los sistemas estudiados es el siguiente: —Gota caminante En nuestro estudio, la gota caminante está sometida, además de al campo ondulatorio, a un potencial bidimensional cuártico (dinámica caótica). Hemos analizado el sistema de dos formas distintas: en la primera modelizando la fuerza que ejerce la superficie sobre la gota con una fricción de tipo Rayleigh y en la segunda haciéndolo mediante un término integral. En lo que respecta a la primera se ha elucidado la estructura de los atractores que gobiernan la dinámica del sistema. Además, se han calculado las funciones de densidad de probabilidad asociadas a trayectorias deslocalizadas, que aparecen como distribuciones similares a las densidades de probabilidad cuánticas. Respecto a la segunda, hemos demostrado que el modelo con el término integral presenta grandes analogías con la mecánica cuántica. Así, hemos construido un esquema de cuantización, donde se puede distinguir un patrón nodal claro que aparece en función del efecto de memoria de los sucesivos saltos de la gota caminante, de forma análoga a lo que ocurre con la energía en un sistema cuántico. Por último, con el objetivo de entender mejor el origen de la cuantización en el sistema, hemos comprobado que cuando la longitud de onda es la adecuada, el sistema cumple una condición de cuantización análoga a la de Bohr-Sommerfeld, lo que nos ha permitido calcular una constante hidrodinámica que juega el mismo papel que tiene la constante de Planck en la mecánica cuántica. —Dispersión elástica e inelástica de átomos por superficies metálicas corrugadas Se ha llevado a cabo un estudio de las colisiones de átomos de helio con superficies corrugadas de cobre, descritas mediante un modelo realista, tanto en la zona de dispersión regular como en la caótica. En relación con la primera, en esta Tesis se ha desarrollado una transformación del descriptor lagrangiano que permite su aplicación al estudio de la parte regular en sistemas dinámicos genéricos. La eficacia de la nueva herramienta se ha verificado primero aplicándola al potencial de Hénon-Heiles, un sistema paradigmático dentro de los sistemas dinámicos, pasando luego al estudio de la función de dispersión elástica de átomos de helio por superficies corrugadas de cobre. Por otra parte, también se ha aplicado el método de los descriptores lagrangianos en su versión original al estudio de la dinámica caótica en la dispersión inelástica, cuando los átomos impactan en superficies corrugadas vibrantes, debido a los fonones que existen a temperatura finita. Esto aumenta la dimensionalidad del sistema a 2.5 grados de libertad. La aplicación del método nos ha permitido distinguir las estructuras subyacentes en las regiones caóticas del espacio de fases, así como etiquetar y clasificar la dinámica del sistema a diferentes temperaturas (amplitudes de la vibración). Por último, para tratar de entender como es la dinámica en estas estructuras, se ha construido una aproximación a las mismas en tres dimensiones, basada en el apilamiento de entramados homoclínicos a energía constante (dispersión elástica con dos grados de libertad) en la superficies de sección de Poincaré, lo que permite conjeturar que si la temperatura de la superficie (perturbación) es pequeña, las trayectorias del átomo incidente en el caso inelástico de mayor dimensionalidad se moverán aproximadamente por la misma, ya que ésta será robusta, siendo solo distorsionada pero no destruida por la correspondiente perturbación. ----------ABSTRACT---------- In this Ph. D. Thesis we study two realistic physical systems with at least two degrees of freedom. The first one is the walking droplet, which consists of a millimetric drop of liquid bouncing off a vibrating surface of the same fluid, thus generating a wave deformation on it, which self-propels the droplet. The second one is the elastic and inelastic dispersion of atoms off metallic corrugated surfaces. We also present a new method based on Lagrangian descriptors for the characterization of the invariant tori that exist in the regular regions of generic dynamical systems. The study conducted for each one of the studied systems is the following: –Walking droplet In our study, the walking droplet is subjected, together with the ondulatory field, to a bidimensional quartic oscillator potential (chaotic dynamics). We have analyzed the system in two ways. First, by modeling the force that the surface exerts on the droplet with a Rayleigh-like friction term, and second doing so by means of an integral term. For the Rayleigh model, the structure of the attractors that govern the dynamics has been elucidated. Moreover, the probability density functions associated with delocalized trajectories have been computed, which render distributions with a shape similar to quantum probability densities. On the other hand, we have demonstrated that the integral model exhibits great analogies with the quantum case. Accordingly, we have constructed a quantization scheme, where a clear nodal pattern emerges at given values of the jumping memory factor, similar to what happens in quantum mechanics as a function of the energy. Finally, in order to obtain a better understanding of the origin of this quantization effect, we have verified that for certain values of the undulatory field wavelength, our quantization scheme is similar to the well-known Bohr-Sommerfeld semiclassical quantization condition. This allows to define a ‘hydrodynamical’ constant that plays a role similar to that played by the Planck’s constant in quantum mechanics, thus given support to our interpretation. –Elastic and inelastic scattering of atoms by metallic corrugated surfaces Using a realistic model to describe the collisions of helium atoms off corrugated copper surfaces, we have studied both the regular and chaotic dispersion in this system. Regarding the first part (regular), we have developed in this Ph. D. Thesis a modification of the Lagrangian descriptor method, able to characterized the regular dynamics of generic dynamical systems. We have first checked the performance of this new tool by applying it to the well known H´enon-Heiles Hamiltonian, a paradigmatic system in the field of nonlinear dynamics. The method is then applied to the study of the elastic dispersion function of helium atoms off corrugated copper surfaces. In addition, the usual Lagrangian descriptors have been applied to unveil the structure of the chaotic regions of phase space when the dispersion of the atoms takes place in an inelastic fashion and the surface is subjected to the vibration produced by the phonons at finite temperature. This increases the dimensionality of the system to 2.5 degrees of freedom. Our approach has enabled the identification of the underlying phase space structures, as well as its labeling and the classification of the different trajectories of the system. In order to understand the dynamics inside the structures mentioned above, we have constructed a three-dimensional manifold consisting of a stack of the homoclinic tangles at constant energy (elastic scattering) existing in the Poincar´e surfaces of section. The idea is that this structure will be robust, not being destroyed but only distorted by the perturbation associated with the increased dimensionality in the inelastic case. The corresponding higher dimensional trajectories will move, accordingly, very close to this geometrical structure.