Tesis:
Estudio Geométrico del Caos en Sistemas Hamiltonianos con dos o más grados de libertad
- Autor: VERGEL OTERO, Alberto
- Título: Estudio Geométrico del Caos en Sistemas Hamiltonianos con dos o más grados de libertad
- Fecha: 2020
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S. DE INGENIERÍA AGRONÓMICA, ALIMENTARIA Y DE BIOSISTEMAS
- Departamentos: INGENIERIA AGROFORESTAL
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/66697/
- Director/a 1º: BENITO ZAFRILLA, Rosa María
- Director/a 2º: LOSADA GONZÁLEZ, Juan Carlos
- Resumen: En esta tesis hemos implementado el formalismo geometrodinámico con el fin de estudiar desde esta perspectiva la estructura del espacio de fases de diversos sistemas dinámicos hamiltonianos realistas. En particular aplicamos dicho formalismo al sistema de isomerización LiNC-LiCN bidimensional y al sistema Hénon-Heiles, también hemos encontrado un criterio novedoso de suficiencia para la integrabilidad de sistemas dinámicos tridimensionales. Siguiendo la metodología geometrodinámica hemos definido una variedad riemanniana (variedad mecánica) dotada con la métrica de Jacobi integrando numéricamente las ecuaciones geodésicas para obtener las trayectorias clásicas. En dos grados de libertad el sistema de isomerización LiNC-LiCN está configurado por un enlace triple C = N, por lo que en nuestro modelo mantenemos constante la distancia entre el C y el N en su valor de equilibrio. La molécula tiene dos isómeros estables correspondiéndose con los dos mínimos de la función de energía potencial realista obtenida por métodos ab initio que son dos puntos elípticos, separados por una barrera energética relativamente baja. Para estudiar la sensibilidad a condiciones iniciales del sistema, analizaremos la evolución del vector separación geodésica definida por la ecuación de Jacobi-Levi-Civita integrándola numéricamente a lo largo de trayectorias geodésicas para diferentes condiciones iniciales, permitiendo así estudiar la estructura del espacio de fases de este sistema. Observamos que las trayectorias en su recorrido siempre se acercan a la frontera de la región accesible de su espacio de configuraciones (región de Hill). Utilizando la misma metodología, estudiamos la influencia que la curvatura de esta frontera alrededor del punto de retorno tiene en la naturaleza regular o caótica de la trayectoria en cuestión. Comparamos nuestro sistema dinámico con el problema de billar clásico y comprobamos el papel de la curvatura escalar en el interior de la región de Hill para estabilizar la trayectoria independientemente de la curvatura del punto de retorno. Apoyándonos en la posibilidad de plantear el problema del arco catenario y su estabilidad desde la formulación geometrodinámica extendemos esta idea a sistemas dinámicos identificando cuerdas flexibles con trajectorias del sistema. Proponemos un novedoso indicador de caos válido para sistemas de dos y tres dimensiones, aplicándolo al sistema dinámico Hénon-Heiles y encontrando que la trayectoria más estable cumple lo que denominamos condición catenaria generando regiones de estabilidad local. Midiendo cuan alejada se encuentra la trayectoria de estudio de ser trayectoria catenaria definimos un indicador de caos para una trayectoria cualquiera en sistemas dinámicos de dos y tres dimensiones. Observamos que la regularidad de estas curvas catenarias es consecuencia de la existencia de una simetría local o campo Killing a lo largo de ellas. Finalmente extendiendo esta idea a sistemas de más de dos grados de libertad, proponemos un criterio suficiente de integrabilidad para sistemas hamiltonianos tridimensionales. Dicho criterio afirma que en aquellos sistemas con matriz de masa unidad en los que exista una foliación del espacio de configuraciones por superficies formadas por curvas catenarias podremos asegurar la integrabilidad del sistema. Aplicamos este criterio a diferentes sistemas dinámicos tridimensionales. ----------ABSTRACT---------- In this work we have worked with the geometrodynamic formalism estudying from this point of view the phase space structure for different realistic Hamiltonian systems. With this method we have analized the two-dimension isomerization system LiNC-LiCN as well as the H´enon-Heiles system, finding as well a new sufficiency criterion for integrability applied to three-dimension dynamical systems. From this point of view we have defined a Riemmanian manifold (mechanical manifold) dowed with the Jacobi metric integrating numerically the geodesic equations resulting the classical trajectories. In the two-dimension isomerization model LiNC-LiCN, because of the triple bond C ≡ N, we consider the distance between the two atoms C and N frozen at the equilibrium value. The realistic potential energy function is calculated by ab initio method, two stable isomers or elliptic points corresponding to the minima are determined separated by a low energetic barrier. In order to study the sensibility to initial conditions, we analyze the evolution for the geodesic separation vector field controlled by the Jacobi-Levi-Civita equation, integrating numerically this equations with the geodesics for different initial conditions and analyzing the phase space structure of the system. We observe that trajectories allways bounce the accesible region boundary (Hill boundary). We study with the same method the influence of the curvature of the boundary at the turning points for the regularity or chaoticity of the trajectory. Analizing the analogy with the classical billard and studying the influence of the scalar curvature inside the Hill region as stabilization mechanism for trajectories independently of the curvature at the turning points. Supported with the possibility of studying the catenary arch and its stability from the geometrodynamic formulation, we extends this idea to dynamical systems identifying flexible strings with trajectories of the dynamical system. We propose a new indicator of chaos for two and three-dimension systems, studying the H´enon-Heiles system showing that the most stable trajectories fulfilling the catenary condition generate local stability regions. Measuring how far the trajectory separates from a catenary we define an chaos indicator for trajectories in two and three-dimension dynamical systems. Regularity of these trajectories is deduced from the existence of a local symmetry or Killing vector field along the curve. Finally, we propose to extend this idea to dynamical systems with more than two degrees of freedom, proposing a new sufficiency criterion of integrability for three-dimension Hamiltonian systems. The criterion stays that those systems with unit mass matrix where surfaces generated by catenaries curves are folliating the whole accesible space are integrable. We apply this criterium to different three-dimension dynamical systems.