Tesis:
The Local Maximum-Entropy Material Point Method
- Autor: MOLINOS PÉREZ, Miguel
- Título: The Local Maximum-Entropy Material Point Method
- Fecha: 2021
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: FACULTAD DE INFORMATICA
- Departamentos: AEROTECNIA
- Acceso electrónico: https://oa.upm.es/69327/
- Director/a 1º: PASTOR PEREZ, Manuel T
- Resumen: In this thesis, the Local Maximum-Entropy Material Point Method (LME-MPM) is introduced as a successful “marriage” between the Material Point Method (MPM), a well known meshfree method proposed by Sulsky et al. [148] and the Local Maximum-Entropy (LME), a robust approximation scheme proposed by Arroyo and Ortiz [8]. The introduction and assessment of this new variant of the MPM will be the aim of the further chapters in this thesis. Although both techniques, MPM and LME, are rigorously described throughout the further chapters of this research, a brief introduction is presented hereinafter. The MPM is a meshfree method originally proposed by Sulsky, Chen and Schreyer at the University of New Mexico in the early 1990s. It was presented as an extension of the Fluid Implicit Particle (FLIP) to computational solid dynamics. In the last thirty years of research and development of this method, it has been used to simulate the behavior of a variety of materials within the framework of continuum mechanics, not only for single-phase but also for multi-phase interactions. One of the main advantages of meshfree methods, such as MPM, over traditional mesh-based techniques, such as Finite Element Method (FEM), is their ability to deal with large deformation problems without suffering from element what requires requiring computationally expensive remeshing techniques. In the case of MPM, this limitation is overcome by a double spatial description: i) a Lagrangian description in which the material points represent the continuum medium that carries the physical information during the simulation and ii) an Eulerian description in which a fixed set of nodes (also known as a background mesh) is considered to solve the equilibrium. Since the MPM possesses the advantages of both Lagrangian and Eulerian descriptions, no element distortion takes place in the MPM. Therefore, it is an appropriate and efficient method to solve problems with moving discontinuities such as fracture evolution or large strain. Despite all of these advantages, the MPM has some limitations as well. One of the most cited shortcomings is the well known grid-crossing error. This error is inherent in the degree of smoothness of the functions in the adopted approximation technique. In the standard MPM, linear shape functions are typically employed, therefore, the degree of smoothness is C0, which means that first derivative of these functions is not continuous between cells. This leads to the presence of spurious variations when the particles cross the limits between cells. History dependent inelastic constitutive laws may behave erroneously and report inaccurate stress states because of this noisy input. In order to overcome this limitation, a wide range of MPM “flavors” have been proposed in recent years. Some of the most utilized are the Generalized Interpolation Material Point (GIMP), Dual Domain Material Point (DDMP), or the Convected Particle Domain Interpolation (CPDI). In all of them, the premise is to provide, at least, a C1 degree of smoothness. However, each of these methods still has its own limitations. In this thesis, the Local Maximum-Entropy (LME), or Local Max-Ent approximants, have been adopted as a robust substitute of the aforementioned shape functions. First introduced by Arroyo and Ortiz [8], it belongs to the class of convex approximation schemes, provides a seamless transition between FEM and meshfree interpolations, and has a C degree of smoothness. The LME approximation technique is based on the compromise between minimizing the width of the shape function support and maximizing the entropy of the approximation. The LME approximation may be regarded as a regularization, or (in analogy to statistical mechanics) thermalization, of Delaunay triangulation which effectively resolves the degenerate cases resulting from the lack or uniqueness of the triangulation. Finally, the obtained technique is called in this thesis as the LME-MPM, whose evaluation for some relevant applications in the field of solid mechanics is detailed in each of the following individual research papers. I On the dynamic assessment of the LME-MPM through an Explicit Predictor- Corrector Scheme This work presents the LME-MPM together with an explicit Predictor-Corrector time integration scheme as an alternative to the standard MPM for fast dynamics simulations. The performance of both improvements is validated by the high quality results of the numerical examples. The outstanding performance of this approach do not only overcome the well known grid-crossing error but also the presence of spurious noises during the simulation of shock waves propagation with minimal numerical dissipation. I I LME-MPM applied to quasi-brittle fracture This work introduces the eigensoftening algorithm as a promising technique to address the fracture process of brittle and quasi-brittle materials under the LME-MPM framework. The good fitting in the predictions against both analytical and experimental results proves the excellent performance of the method when challenging applications are to be modeled. I I I Towards a LME-MPM at finite strain within a B-free approach This work provides a B-free (or component-free) framework to solve the non-linear finite strain elastodynamics equations within the LME-MPM. By means of it, the artificial break point between the formulation of the continuum problem and its discretized counterpart is eliminated. In addition, the classic Newmark-β algorithm has been accommodated to the LME-MPM through an incremental formulation. For the sake of completeness, the evaluation of the proposed framework in the finite deformation regime is discussed at the end of this document. ----------RESUMEN---------- El objeto de esta tesis es el de introducir el Método del Punto Material con Máxima Entropía-Local (LME-MPM). Se trata de la unión del Método del Punto Material (MPM), una conocida técnica sin malla propuesta por Sulsky et al. [148], y las funciones de Máxima Entropía-Local (LME), un robusto esquema de aproximación propuesto por Arroyo y Ortiz [8]. La introducción y evaluación de esta nueva variante del MPM será el objeto de los siguientes capítulos de esta tesis. A pesar de que ambas técnicas serán descritas en detalle a lo largo de esta tesis, a continuación son presentadas brevemente. El MPM es un método de partículas inicialmente desarrollado a principios de los años 90 por Sulsky, Chen y Schreyer en la Universidad de Nuevo México. Originalmente fue propuesto como una extensión del FLIP para mecánica de sólidos computacional. En los últimos treinta años de investigación y desarrollo este método se ha empleado para la simulación de una gran variedad de materiales dentro del contexto de la mecánica de medios continuos, tanto para una fase como para modelar la interacción entre varias fases. Una de las grandes ventajas de los métodos sin malla como el MPM frente a los métodos tradicionales como el Método de los Elementos Finitos (MEF) es su capacidad para simular grandes deformaciones sin sufrir distorsiones de la malla que exigen del uso de costosas técnicas de remallado. En el caso del MPM esta limitación es resuelta gracias a una doble descripción espacial: por un lado i) una discretización Lagrangiana del medio continuo mediante partículas que llevan consigo la información física pertinente del material y por el otro lado ii) una discretización Euleriana mediante un conjunto fijo de nodos (frecuentemente denominado como malla de cálculo) donde tiene lugar la resolución del equilibrio. Por tanto, dicha distorsión de los elementos no tiene lugar en el marco de trabajo del MPM. Esto hace del MPM una técnica numérica ideal para la simulación de problemas de grandes deformaciones, modelización de discontinuidades como es el caso de la fractura de materiales, y muchos otros casos de aplicación. A pesar de estas ventajas, el MPM tiene también una serie de limitaciones. Una de las más citadas es el conocido error de paso de malla o grid-crossing error en la literatura anglosajona. Este error es inherente al grado de suavidad en las funciones de forma según la técnica de aproximación empleada. En el MPM convencional se suelen emplear funciones lineales, por lo tanto, el grado de suavidad es C°, lo que implica que la primera derivada de esas funciones no es continua entre las celdas de la malla de cálculo. Esto lleva consigo la existencia de oscilaciones espurias en el campo de deformaciones cuando las partículas pasan de una celda a otra en la malla de cálculo. Por lo tanto, es previsible que materiales con leyes constitutivas que dependen del historia termo-mecánica del material puedan verse severamente afectados por estas oscilaciones dando lugar a resultados erróneos. Esta limitación ha dado lugar a la propuesta de técnicas de aproximación alternativas para el MPM. Algunas de estas son el GIMP, el B-spline MPM o el CPDI. En todas ellas, la premisa es proporcionar al menos un grado de suavidad C1. Esto permite mitigar el error de paso de malla. Sin embargo, todos estos métodos tienen sus propias limitaciones. En la presente tesis se propone emplear las funciones de Máxima Entropía-Local (LME) como una robusta alternativa a las técnicas de aproximación previamente señaladas. Esta técnica de aproximación fue introducida de forma pionera por Arroyo y Ortiz [8]. Pertenece a la clase de esquemas de aproximación convexos y proporciona una transición suave entre el FEM y los métodos sin malla. La técnica de aproximación LME se basa en un compromiso entre minimizar el soporte de la función de forma y maximizar la entropía del esquema de aproximación. Finalmente, la técnica resultante se denota en esta tesis como LME-MPM y su evaluación es detallada, para aplicaciones relevantes de la mecánica de medios continuos, en cada una de las siguientes publicaciones. I On the dynamic assessment of the LME-MPM through an Explicit Predictor- Corrector Scheme En este trabajo se presenta el LME-MPM junto con un esquema predictor corrector explícito como una alternativa al MPM clásico para la simulación de fenómenos dinámicos. El rendimiento de ambas mejoras es validado gracias a los buenos resultados obtenidos en las simulaciones realizadas. El sobresaliente rendimiento de esta técnica no solo mitiga el error de paso de malla, también filtra la presencia de oscilaciones espurias durante la simulación de ondas de choque con un amortiguamiento numérico mínimo. II LME-MPM applied to quasi-brittle fracture En este trabajo se presenta el algoritmo eigensoftening dentro de la técnica LMEMPM como una propuesta eficiente para la simulación de materiales con procesos de fractura frágil y cuasi-frágil. El excelente ajuste del modelo a resultados con solución analítica como a datos experimentales demuestra el buen rendimiento del modelo empleado cuando se trata de modelar aplicaciones desafiantes. Ill Towards a LME-MPM at finite strain within a B-free approach En este trabajo se propone el uso de una metodología B-free (o sin componentes) para la resolución de problemas de elastodinámica no lineal en grandes deformaciones mediante el LME-MPM. Esta metodología permite eliminar la brecha existente entre la formulación continua del problema y su versión discretizada. Asimismo, en este trabajo se introduce el uso de una formulación incremental del algoritmo Newmark-/? para el LME-MPM. En aras de la exhaustividad, al final de este documento se analiza la evaluación del marco propuesto en el régimen de grandes deformaciones.