Tesis:
Latin Polytopes and Their Applications
- Autor: GARCÍA PALOMO, Miguel
- Título: Latin Polytopes and Their Applications
- Fecha: 2021
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S. DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACION
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA A LAS TECNOLOGIAS DE LA INFORMACION Y LAS COMUNICACIONES
- Acceso electrónico: https://oa.upm.es/70082/
- Director/a 1º: BALLESTEROS OLMO, Francisco
- Resumen: Un cuadrado Latino de orden n es una matriz n x n en la que cada fila y columna contiene todos los elementos de un n-conjunto de símbolos. Los cuadrados Latinos son objetos matemáticos muy estudiados, con rica historia, propiedades matemáticas interesantes, numerosas conexiones con otras áreas de la Matemática Discreta y aplicaciones prácticas útiles, como el diseño de experimentos, la planificación, y la codificación de datos en telecomunicación, por mencionar algunos ejemplos. Sin embargo, a pesar de todo ello, los cuadrados Latinos están prácticamente solos en su categoría. Un recorrido por el estado del arte muestra que sólo hay un puñado de otros objetos “Latinos” (triángulos Latinos, cuadrados Greco-Latinos, rectángulos Latinos, rectángulos semi-Latinos, cubos Latinos, hypercubos Latinos), sin que parezca existir un concepto matemático general inducido por ellos (es decir, parece haber un research gap: un vacío notorio en la investigación). Algo similar sucede con los cuadrados de frecuencia, objetos más generales que los cuadrados Latinos en los que los símbolos pueden repetirse en cada fila y columna. Dado el potencial que tal generalización podría tener, el presente trabajo tiene como propósito llenar este vacío con: • Nuevos conceptos para generalizar los: – Cuadrados Latinos completos (politopos Latinos completos) y cuadrados Latinos parciales (politopos Latinos parciales). – Cuadrados de frecuencia completos (politopos de frecuencia completos) y cuadrados de frecuencia parciales (politopos de frecuencia parciales). • Un nuevo concepto (geomorfismo) aplicable a hipergrafos geométricos. • Un nuevo concepto (geotopismo) para la generación inmediata de politopos Latinos y politopos de frecuencia a partir de uno dado. • Ejemplos que prueban la existencia de los objetos derivados de tales conceptos. • Una nueva terminología que generaliza de forma acorde la ya establecida para cuadrados Latinos y cuadrados Latinos parciales. • Resultados matemáticos relativos a los nuevos objetos. • Métodos eficientes para generarlos. • Nuevas aplicaciones prácticas de los mismos. • Futuras líneas de investigación. Todo ello con la esperanza de enriquecer la actual Teoría de Cuadrados Latinos. Palabras clave: ANOVA, clase trama, clase urdimbre, coloreado de hipergrafos, comprobación de hipótesis, cuadrado de frecuencia, cuadrado de frecuencia libre, cuadrado Latino, cuadrado Latino libre, cuadrado Latino parcial, Custom Sudoku, diseño combinatorio, diseño de bloques aleatorio, diseño de experimentos, fuente caleidoscópica, fuente de simetría, geomorfismo, geotopismo, grupo de geomorfismos, grupo de geotopía, hexágono Latino, hipergrafo, hipergrafo con clases simétricas, hipergrafo de alta frecuencia, hipergrafo de frecuencia, hipergrafo Latino, hipergrafo Latino completable, hipergrafo simétrico, hipergrafo tejido, latinizacion, poliedro Latino, politopo de frecuencia, politopo Latino, politopo Latino completable de forma unívoca, polígono birregular, polígono Latino, Problema de Hipergrafos Simétricos, Problema de Simetrización de Hipergrafos, programación con restricciones, puzzle Latino, Sudoku, Sudoku Ripeto, triángulo Latino. ----------ABSTRACT---------- A Latin square of order n is an n x n array in which every row and column contains all the elements in an n-set of symbols. Latin squares are well studied mathematical objects featuring a rich and long history, remarkable mathematical properties, many connections to several areas in Discrete Mathematics, and useful practical applications, like the design of experiments, scheduling, and the coding of data for telecommunication, among others. But with all this, Latin squares are almost alone in their category: a review of the state of the art reveals that there is only a handful of other “Latin” objects (Latin triangles, Graeco-Latin squares, semi-Latin squares, Latin rectangles, Latin cubes, Latin hypercubes). The review also shows that there does not seem to be a general, encompassing mathematical concept derived from these objects (namely, there seems to be a research gap). Something similar happens with frequency squares, objects more general than Latin squares in which symbols may appear repeated in every row and column. Given the potential that such generalization could have, the present thesis aims to fill this void with: • New concepts that generalize: – Complete Latin squares (complete Latin polytopes) and partial Latin squares (partial Latin polytopes). – Complete Frequency squares (complete frequency polytopes) and partial frequency squares (partial frequency polytopes). • A new concept (geomorphism) applicable to geometric hypergraphs. • A new concept (geotopism) for the immediate generation of Latin polytopes and frequency polytopes from a given one. • Examples that prove the existence of the new objects derived from such concepts. • A new terminology to generalize the well-established terminology for both Latin squares and partial Latin squares. • Mathematical results related to the new objects. • Efficient ways to generate them. • Their practical applications. • Future lines of research. All this with the hope to enrich the current Theory of Latin Squares. Keywords: ANOVA, biregular polygon, class-symmetric hypergraph, combinatorial design, completable Latin hypergraph, constraint programming, Custom Sudoku, design of experiments, free frequency square, free Latin square, frequency hypergraph, frequency polytope, frequency square, geometric hypergraph, geomorphism, geomorphism group, geotopism, geotopy group, high frequency hypergraph, hypergraph, hypergraph coloring, Hypergraph Symmetrization Problem, hypothesis testing, kaleidoscopic source, Latin hexagon, Latin hypergraph, Latin polygon, Latin polyhedron, Latin polytope, Latin puzzle, Latin square, Latin triangle, latinization, partial Latin square, randomized block design, source of symmetry, Sudoku, Sudoku Ripeto, symmetric hypergraph, Symmetric Hypergraphs Problem, uniquely completable Latin polytope, warp class, weft class, woven hypergraph.