Tesis:
A high-order nearly-conservative Lagrange–Galerkin method for compressible flows
- Autor: COLERA RICO, Manuel
- Título: A high-order nearly-conservative Lagrange–Galerkin method for compressible flows
- Fecha: 2023
- Materia:
- Escuela: E.T.S. DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACION
- Departamentos: SIN DEPARTAMENTO DEFINIDO
- Acceso electrónico: https://oa.upm.es/73467/
- Director/a 1º: CARPIO HUERTAS, Jaime
- Resumen: This thesis is devoted to the development of a novel Lagrange-Galerkin method for the resolution of two-dimensional, compressible and inviscid flows.
Lagrange-Galerkin methods are a class of schemes that combine the resolution of the equations in a Lagrangian fashion — so as to increase the numerical stability — with periodic remaps onto stable meshes — so as to avoid mesh distortion problems.
The formulation of the method relies on a set of conservation equations for a weighted mass, momentum and total energy, from which the standard conservation laws can be considered as a particular case. These equations are formally discretized in space and in time with arbitrary order of accuracy, and mass, momentum and total energy are preserved as long as the integrals in the formulation are computed exactly (and the boundary conditions allow so).
The scheme employs high-order continuous discretizations on unstructured triangular meshes. As it is well-known, high-order elements yield much smaller numerical errors for the same computational effort in the regions where the solution is smooth, whereas unstructured triangular meshes have the advantage of being more amenable for automatic mesh generation. On the other hand, in contrast to the more common discontinuous Galerkin method, here we employ the continuous Galerkin method to reduce the number of degrees of freedom and to allow thus for more efficient implicit time-discretizations.
In most Lagrange-Galerkin methods, a reference mesh is displaced backward-in-time to the previously solved time levels, and then the information of the previous solutions (defined in the reference mesh) is transferred from the reference mesh to the backward-in-time displaced mesh. The solution for the current time level is directly obtained in the reference mesh. However, to allow for an easier and more efficient implementation of high-order time-marching schemes, here we propose to proceed in a fashion similar to arbitrary Lagrangian-Eulerian methods: the reference mesh is displaced forward-in-time, the solution is obtained in the moving mesh, and then it is remapped onto the reference mesh. In particular, here we use an implicit-explicit Runge-Kutta scheme, in which the explicit part is used to advance the mesh and the implicit part is used to solve the compressible flow equations. The nonlinear system resulting from the implicit time-discretization is solved via Anderson’s method [SIAM Journal on Numerical Analysis, 49 (2011), pp. 1715-1735].
To stabilize the scheme against the spurious oscillations generated by acoustic instabilities and by the discontinuities in the solution, we employ multiscale modeling and Brenner’s model [Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 370 (2006), pp. 190-224] for compressible viscous flows. In particular, we develop a novel (artificial viscosity-based) discontinuity-capturing operator which makes use of the fine-scale terms of the discretization to detect the presence of discontinuities.
Numerical experiments — performed with up to fifth-order elements and a fourth-order timemarching scheme — confirm that the method is able to capture and track discontinuities in the solution, and at the same time does not spoil the solution at the smooth regions. Also, high-order elements show a better performance (in terms of error vs. CPU time) than low-order ones for smooth solutions, and a similar performance for discontinuous solutions.
RESUMEN
En esta tesis se presenta un nuevo método de Lagrange-Galerkin para la resolución de flujos bidimensionales, compresibles y no viscosos.
Los métodos de Lagrange-Galerkin son una clase de algoritmos que combinan la resolución de las ecuaciones de forma lagrangiana —para aumentar así la estabilidad numérica— con transferencias periódicas de la solución a mallas estables —para así evitar problemas de distorsión de malla—.
La formulación del método se basa en un conjunto de ecuaciones de conservación para una masa, un momento y una energía total ponderadas, a partir de las cuales las leyes habituales de conservación pueden considerarse como un caso particular. Estas ecuaciones se discretizan formalmente con un orden arbitrario en el espacio y en el tiempo, y la masa, el momento y la energía total se conservan siempre y cuando las integrales en la formulación se calculen de forma exacta (y las condiciones de contorno lo permitan).
El algoritmo emplea discretizaciones continuas de alto orden en mallas triangulares no estructuradas. Como es sabido, los elementos de alto orden proporcionan errores numéricos más pequeños para el mismo coste computacional en las regiones donde la solución es suave, mientras que las mallas no estructuradas tienen la ventaja de ser más fáciles de generar de forma automática. Por otra parte, en lugar del más popular método de Galerkin discontinuo, aquí se utiliza el método de Galerkin continuo para reducir el número de grados de libertad y permitir así una implementación más eficiente de discretizaciones implícitas en el tiempo.
En la mayoría de métodos de Lagrange-Galerkin, se dispone de una malla de referencia que es desplazada hacia atrás en el tiempo hasta los instantes previamente resueltos. Entonces, las soluciones de dichos instantes (que están definidas en la malla de referencia) se transfieren desde la malla de referencia hasta la malla desplazada hacia atrás en el tiempo. La solución para el instante actual se obtiene directamente en la malla de referencia. Sin embargo, para obtener una implementación más sencilla y eficiente de esquemas temporales de alto orden, en esta tesis se propone proceder de forma similar a los métodos ALE (arbitrary Lagragian-Eulerian): primero se desplaza la malla de referencia hacia adelante en el tiempo, después se obtiene la solución en la malla móvil y, por último, ésta es transferida a la malla de referencia. En particular, en este trabajo se utiliza un esquema Runge-Kutta implícito-explícito, en el cual la parte explícita se utiliza para desplazar la malla, mientras que la parte implícita se utiliza para resolver las ecuaciones de flujo compresible. El sistema no lineal que resulta de la discretización implícita es resuelto mediante el método de Anderson [SIAM Journal on Numerical Analysis, 49 (2011), pp. 1715-1735].
Para estabilizar el método frente a las oscilaciones espurias generadas por las inestabilidades acústicas y por las discontinuidades en la solución, se emplea un modelo numérico multiescala, así como el modelo de Brenner [Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 370 (2006), pp. 190- 224] para flujos compresibles viscosos. En particular, se desarrolla un nuevo operador de captura de discontinuidades (basado en viscosidad artificial) que hace uso de los términos de pequeña escala de la discretización para detectar la presencia de discontinuidades.
Los experimentos numéricos (realizados con elementos de hasta quinto orden y un esquema Runge-Kutta de cuarto orden) confirman que el método es capaz de capturar y seguir las discontinuidades en la solución, y al mismo tiempo no deteriora la calidad de la solución en las regiones en las que ésta es suave. Además, los elementos de alto orden muestran un mejor desempeño (en términos de error vs. tiempo de cálculo) que los elementos de bajo orden en el caso de soluciones suaves, y un desempeño similar para soluciones discontinuas.