Tesis:
Robust and adaptive high-order discontinuous Galerkin methods for Multiphase flows
- Autor: NTOUKAS, Gerasimos
- Título: Robust and adaptive high-order discontinuous Galerkin methods for Multiphase flows
- Fecha: 2023
- Materia:
- Escuela: E.T.S.I. AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA AEROESPACIAL
- Acceso electrónico: https://oa.upm.es/73311/
- Director/a 1º: RUBIO CALZADO, Gonzalo
- Director/a 2º: MANZANERO TORRICO, Juan
- Resumen: This dissertation focuses on efficient and robust computation methods for multiphase flow applications in the context of high–order (HO) methods. The flow modelling is done through a modified form of the compressible Navier–Stokes equations. The first addition is to include the artificial compressibility method which allows the solver to simulate flows with very low Mach number and alleviates the stiffness of the system. The second modification is the use of the Cahn–Hilliard model which allows to model multiphase flows of two or more immiscible fluids. This type of modelling of multiphase flows falls into the category of phase–field methods. The numerical framework used to discretize the system of equations is the Discontinuous Galerkin Spectral Element Method (DGSEM). The focus of this work is to exploit and expose some of the numerical and algorithmic characteristics that a DGSEM discretization offers to increase the robustness and the efficiency of the framework without compromising each of those two characteristics. Both of these characteristics are critical towards the goal of establishing HO methods as an industry–ready tool, which has been one of the main pillars of the project that this work has been part of.
To increase the efficiency of the solver, reduce the computational overhead and the consumed energy, we exploit one basic characteristic of DGSEM which can also be generalised towards other high–order methods such as Flux–Reconstruction or Continuous Galerkin methods. That is p–adaptation. DGSEM offers the flexibility to locally refine or coarsen the polynomial order approximation in each element and in each direction independently. This technique allows to reduce the total number of degrees of freedomand thus reduce the associated computational cost. While doing so, it is important to retain or increase the level of accuracy of the original solution. Within this work, p–adaptation has been initially applied to RANS and LES simulations to verify its applicability and benefits and showcase that it can retain the original level of accuracy for both steady and unsteady cases. Since the goal of this thesis is to apply these techniques to unsteady multiphase flows, p–adaptation has been initially applied to the Cahn–Hilliard equation for two–phase flow problems. This initial assessment shows the benefits of p–adaptation in terms of computational cost. Then, the same technique has been applied to the full Navier–Stokes/Cahn– Hilliard system of equations showing that substantial computational savings can be achieved while retaining the quality of the original solution. One of the major novelties of this work is that the choice of p–adaptation for multiphase flows had not been considered before and only h– and r– adaptation had been applied.
The second desideratum is to have a robust solver. This is particularly of interest within the industrial setting as the requirements dictate that the solver should be able to output a solution for cases such as under–resolved flows. One method with growing popularity, particularly in the HO research community, are entropy–stable schemes. This refers to the concept of the existence of a mathematical entropy which allows to prove that the stability of the discretized scheme is in par with the stability analysis of the conservation law. We use a particular flavour of the DGSEM with Gauss–Lobatto nodes, a skew–symmetric form and the summation– by–parts simultaneous–approximation–term (SBP–SAT) to have an entropy–stable discretization of the Cahn–Hilliard equation and the Navier–Stokes/Cahn–Hilliard system. One of the novelties of this work is that the discretisation has beenmodified to retain the entropy–stability properties for p–non–conforming elements. This allows to have a robust solver and exploit the performance benefits of p–adaptation. Through several numerical tests of increasing complexity, for both the Cahn-Hilliard and the Navier–Stokes/Cahn–Hilliard system, we show the robustness and the increased efficiency of the new framework.
RESUMEN
Esta tesis se centra en métodos de cálculo eficientes y robustos para aplicaciones de flujo multifásico en el contexto de los métodos de alto orden (HO). El modelado del flujo se realiza mediante una forma modificada de las ecuaciones compresibles de Navier–Stokes. El primer ingrediente es el método de compresibilidad artificial que permite al solucionador simular flujos con un número de Mach muy bajo y alivia la rigidez del sistema. El segundo ingrediente es el modelo de Cahn–Hilliard que permite modelar flujos multifásicos de dos o más fluidos inmiscibles. Este tipo de modelización de los flujos multifásicos entra en la categoría de los métodos de campo de fase. El marco numérico utilizado para discretizar el sistema de ecuaciones es el método de elementos espectrales de Galerkin discontinuo (DGSEM). El objetivo de este trabajo es explotar y exponer algunas de las características numéricas y algorítmicas que ofrece una discretización DGSEM para aumentar la robustez y la eficiencia del esquema sin comprometer cada una de esas dos características. Ambas características son críticas hacia el objetivo de establecer los métodos de HO como una herramienta lista para la industria, que ha sido uno de los principales pilares del proyecto en el que se ha enmarcado este trabajo.
Para aumentar la eficiencia del solucionador, reducir la sobrecarga computacional y la energía consumida, explotamos una característica básica de DGSEM que también se puede generalizar hacia otros métodos de alto orden como Flux–Reconstruction o métodos de Galerkin continuos. Se trata de la adaptación de p. El DGSEM ofrece la flexibilidad de refinar o engrosar localmente la aproximación de orden polinómico en cada elemento y en cada dirección independientemente. Esta técnica permite reducir el número total de grados de libertad y, por tanto, reducir el coste computacional asociado. Al mismo tiempo, es importante mantener o aumentar el nivel de precisión de la solución original. En este trabajo, la adaptación p se ha aplicado inicialmente a simulaciones RANS y LES para verificar su aplicabilidad y beneficios y demostrar que puede mantener el nivel de precisión original tanto para casos estables como no estables. Dado que el objetivo de esta tesis es aplicar estas técnicas a flujos multifásicos no estacionarios, la adaptación p se ha aplicado inicialmente a la ecuación de Cahn-Hilliard para problemas de flujo bifásico. Esta evaluación inicial muestra los beneficios de la adaptación–p en términos de coste computacional. A continuación, se ha aplicado la misma técnica al sistema completo de ecuaciones de Navier–Stokes/Cahn–Hilliard, mostrando que se puede conseguir un ahorro computacional sustancial manteniendo la calidad de la solución original. Una de las principales novedades de este trabajo es que la elección de la adaptación–p para los flujos multifásicos no se había considerado antes y sólo se había aplicado la adaptación h– y r–.-.
El segundo desiderátum es disponer de un solucionador robusto. Esto es especialmente interesante en el ámbito industrial, ya que los requisitos exigen que el solucionador sea capaz de ofrecer una solución para casos como los flujos insuficientemente resueltos. Un método que goza de creciente popularidad, especialmente en la comunidad de investigación de la HO, son los esquemas de entropía estable. Esto se refiere al concepto de la existencia de una entropía matemática que permite demostrar que la estabilidad del esquema discretizado está a la par con el análisis de estabilidad de la ley de conservación. Usamos un tipo particular de DGSEM con nodos de Gauss–Lobatto, una forma sesgada–simétrica y el término de aproximación simultánea por partes (SBP–SAT) para tener una discretización estable en entropía de la ecuación de Cahn–Hilliard y del sistema de Navier–Stokes/Cahn– Hilliard. Una de las novedades de este trabajo es que la discretización se ha modificado para mantener las propiedades de estabilidad de la entropía para elementos p–no conformes. Esto permite tener un solucionador robusto y explotar las ventajas de rendimiento de la adaptación de p. Mediante varias pruebas numéricas de complejidad creciente, tanto para el sistema de Cahn-Hilliard como para el de Navier–Stokes/Cahn–Hilliard, mostramos la robustez y la mayor eficiencia del nuevo marco.