Tesis:
High-order numerical methods for the simulation of supersonic flows
- Autor: MATEO GABÍN, Andrés
- Título: High-order numerical methods for the simulation of supersonic flows
- Fecha: 2024
- Materia:
- Escuela: E.T.S.I. AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA AEROESPACIAL
- Acceso electrónico: https://oa.upm.es/81149/
- Director/a 1º: VALERO SÁNCHEZ, Eusebio
- Resumen: A high-order numerical framework for the simulation of supersonic flows is described in this thesis. These flows are characterised by speeds larger than that of the sound, modifying the behaviour of the fluid and introducing two main physical phenomena: shock waves and Prandtl--Meyer expansion fans. The Navier--Stokes equations that model these fluids allow such solutions, but shocks are thin and can lead to mathematical instabilities. Therefore, the numerical approximations proposed in this work consider high-order discretisations with exceptional accuracy in smooth flows, and ensure that the discontinuities introduced by shock waves are well captured. This is, the evolution of the approximated solution is physical, where the density, momentum, energy and entropy behave according to their corresponding conservation laws.
The spatial part of the equations is discretised with a discontinuous Galerkin method. Specifically, the discontinuous Galerkin spectral element method is at the core of the methodology presented in this thesis, upon which several enhancement strategies are further applied. Their performance is assessed by analysing the generation of entropy in the various regions of the flow, ensuring that, according to the second law of thermodynamics, entropy is not dissipated. These entropy proofs take into account the non-linearities of the Navier--Stokes equations and leverage certain features of the discretisation. Namely, the use of Gauss--Lobatto quadratures to approximate integrals introduces a numerical derivative operator that exactly mimics integration by parts. This property enables a direct comparison between the continuous and discrete versions of the equations, proving the entropy stability of the schemes described in this work.
A first approach enforces the production of entropy by including dissipative terms in the driving equations. This artificial viscosity alters the mathematical model and thus, special care must be taken to ensure that the results have physical meaning. Since additional dissipation is only required in discontinuous regions, this thesis contributes a filtering methodology that modulates its intensity using a modal approach: high-frequency terms are related to larger gradients and consequently, to higher values of artificial viscosity. The filter is carefully applied to ensure that the new term never acts as a sink of entropy. Exploiting the summation-by-parts property of the derivative operator, a second stabilisation strategy is proposed that enables hybrid formulations combining high- and low-order discretisations. With this method, accuracy is favoured in smooth regions whereas problematic areas can blend a low-order contribution to limit oscillations and other instabilities. The approach shown in this work is applicable to any generalised summation-by-parts operator, including Gauss and Gauss--Lobatto nodes.
Most of the numerical experiments supporting the findings of this thesis are computed with the open-source solver HORSES3D. The baseline discretisation is tested in a low-Reynolds case involving the transition from laminar to turbulent flow near a wavy wall, obtaining results that agree with others in the literature and validate the implementation. Supersonic test cases are used to evaluate the performance of the proposed shock-capturing methods, including a Mach 3 forward-facing step, a Sedov blast or a Mach 2 cylinder. They are well-known setups with numerical and experimental results available, providing a clear picture of the advantages and drawbacks of the tested strategies.
RESUMEN
En esta tesis se describe un esquema numérico de alto orden para la simulación de flujos supersónicos. Estos flujos se caracterizan por velocidades superiores a la del sonido, modificando su comportamiento e introduciendo dos fenómenos físicos principales: ondas de choque y expansiones de Prandtl-Meyer. Las ecuaciones de Navier-Stokes que modelizan estos fluidos permiten tales soluciones, pero las ondas de choque son delgadas y pueden generar inestabilidades matemáticas. Por lo tanto, las aproximaciones numéricas propuestas en este trabajo consideran discretizaciones de alto orden con una gran precisión en regiones suaves, y aseguran que las discontinuidades introducidas por las ondas de choque son capturadas correctamente. Es decir, la evolución de la solución aproximada tiene sentido físico, donde la densidad, el momento, la energía y la entropía se comportan según sus respectivas leyes de conservación.
La parte espacial de las ecuaciones se discretiza con un método Galerkin discontinuo. Específicamente, el método Galerkin discontinuo de elementos espectrales se encuentra en el centro de la metodología presentada en esta tesis, sobre el cual se aplican varias mejoras. Su rendimiento se evalúa analizando la generación de entropía en las diferentes regiones del flujo, asegurando que, de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica, la entropía no se disipa. Estas pruebas de entropía tienen en cuenta las no linealidades de las ecuaciones de Navier-Stokes y aprovechan ciertas características de la discretización. Específicamente, el uso de cuadraturas de Gauss-Lobatto para aproximar las integrales introduce un operador de derivación numérico que imita exactamente la integración por partes. Esta propiedad permite una comparación directa entre las versiones continua y discreta de las ecuaciones, demostrando la estabilidad no lineal de los esquemas descritos en este trabajo.
Un primer método fuerza la producción de entropía al incluir términos disipativos en las ecuaciones originales. Esta viscosidad artificial altera el modelo matemático y, por tanto, se debe aplicar con especial cuidado para poder asegurar que los resultados tienen un significado físico. Dado que solo se requiere disipación adicional en regiones discontinuas, esta tesis aporta una metodología de filtrado novedosa que modula su intensidad utilizando un enfoque modal: los términos de alta frecuencia están relacionados con gradientes más grandes y, en consecuencia, con valores más altos de viscosidad artificial. El filtrado se aplica garantizando que el nuevo término nunca actúa como un sumidero de entropía. Aprovechando la propiedad de suma por partes del operador de derivación, se propone una segunda estrategia de estabilización que permite formulaciones híbridas, combinando discretizaciones de alto y bajo orden. Con este método se favorece la precisión en regiones suaves mientras que las áreas problemáticas pueden incluir una contribución de bajo orden que limita las oscilaciones y otras inestabilidades. El enfoque mostrado en este trabajo es aplicable a cualquier operador generalizado de suma por partes, incluyendo nodos Gauss y Gauss-Lobatto.
La mayoría de los experimentos numéricos que respaldan los hallazgos de esta tesis se calculan con el programa de código abierto HORSES3D. La discretización inicial se prueba en un caso con bajo número de Reynolds que incluye una transición del flujo de laminar a turbulento cerca de una pared ondulada, obteniendo resultados que concuerdan con los de la literatura y validan la implementación. También se utilizan casos de prueba supersónicos para evaluar el rendimiento de los métodos propuestos en presencia de discontinuidades, incluyendo un escalón a Mach 3, una explosión o un cilindro a Mach 2. Todos ellos representan configuraciones conocidas con resultados numéricos y experimentales disponibles, lo que proporciona una imagen clara de las ventajas y desventajas de las estrategias probadas.