Tesis:
Optimización en fractales
- Autor: GARCÍA-MIGUEL FERNÁNDEZ, M. Carmen
- Título: Optimización en fractales
- Fecha: 2022
- Materia:
- Escuela: E.T.S. DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACION
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA INDUSTRIAL
- Acceso electrónico: https://oa.upm.es/71044/
- Director/a 1º: SAN MARTÍN MORENO, Jesús
- Resumen: En esta tesis buscamos cuál es la distribución de las teselas distribuidas aleatoriamente sobre un fractal, ya sea que las teselas sean de radio fjo o contengan una masa dada del fractal. La razón que motiva este objetivo es dotarnos de herramientas que permitan las gestión y optimización de infraestructuras y recursos localizados sobre fractales, cuando el acceso a los recursos o la infraestructura esté constreñida por la distancia euclídea. Ante este planteamiento, la primera idea que surge en la mente son las antenas que dan servicio a los teléfonos móviles, cuya emisión fja determina un círculo sobre la estructura fractal de la ciudad, pero la ciudad contiene muchas antenas, muchas teselas circulares que se tratan adecuadamente con el uso de la probabilidad. La idea expuesta sobre las antenas se generaliza inmediatamente a muchas infraestructuras civiles y explotación de recursos como gas y petróleo. Considerando los casi 8 billones de personas que habitamos La Tierra, y que aproximadamente el 50% vivimos en ciudades, nos permite hacernos una idea de la necesidad de gestionar los recursos sobre fractales de forma óptima. Para conseguir el objetivo propuesto se realizaron simulaciones numéricas masivas, usando el superordenador Magerit de la UPM. Primeramente se generó una colección de 400 fractales dividida en 8 subconjuntos, cada uno de los cuales contenía 50 fractales de dimensión fractal desde la dimensión 1.1 a 1.8 respectivamente. Posteriormente se recubría cada fractal con teselas circulares conteniendo una masa fja y el experimento se repetía con distintas masas. El conjunto de experimentos permitió ajustar la distribución del radio de las teselas por una distribución fractal parabólica, que depende exclusivamente de la dimensión del fractal y de la masa contenida en la tesela. A continuación se procedió de forma similar para cubrir los fractales con teselas de radio fjo. Con los datos obtenidos se ajustó la masa fractal contenida en las teselas de radio fjo por una distribución parabólica fractal que depende exclusivamente de la dimensión del fractal y del radio de la tesela. Con la fnalidad de confrmar los resultados, y comprobar su independencia de la muestra utilizada en las simulaciones numéricas, se generó una segunda muestra de 400 fractales y se procedió a repetir todos los experimentos. Posteriormente se compararon las distribuciones de ambas muestras para garantizar la validez de los resultados e independencia de la muestra. Al depender las distribuciones exclusivamente de la dimensión fractal y de la masa o radio de la tesela, el gestor puede optimizar la explotación de las infraestructuras. La dimensión fractal es una restricción impuesta por el medio y la masa contenida en la tesela o su radio es el parámetro que utiliza el gestor para conseguir la optimización. Las simulaciones numéricas también permitieron deducir la expresión que determina la evolución temporal del recubrimiento del fractal, que resultó ser una ley de potencias, para ambos tipos de recubrimientos. De estas leyes se deduce que el coste de la explotación crece rápidamente con el número de teselas y que hay un máximo de recursos explotables en el fractal. ----------ABSTRACT---------- In this thesis we seek what is the distribution of randomly distributed tiles on a fractal, whether the tiles are of fxed radius or contain a given mass of the fractal. The motivation of this objective is to develop mathematical tools that allow the management and optimization of infrastructures and resources located on fractal supports, when access to resources or infrastructures is constrained by Euclidean distances. Faced with this approach, the frst idea that comes to mind are the antennas that serve cell phones, whose fxed emission determines a circle over the fractal structure of the city, but the city contains many antennas, many circular tiles that are properly dealt with the use of probability. This idea about antennas generalizes immediately to many civil infrastructures and exploitation of resources such as gas and oil. Considering that there are almost 8 billion people on Earth, and that approximately 50 % of us live in cities, it gives us an idea of the need to manage resources located over fractals in an optimal way. In order to achieve the proposed objective, massive numerical simulations were performed using the Magerit supercomputer of the UPM. First, a collection of 400 fractals was generated, divided into 8 subsets, each of which housed 50 fractals with fractal dimensions ranging from 1.1 to 1.8 respectively. Each fractal was then overlaid with circular tiles containing a fxed mass, and the experiment was subsequently repeated with different masses. The set of experiments allowed to adjust the distribution of the radius of tiles to a parabolic fractal distribution, which depends exclusively on the fractal dimension and the mass contained in the tiles. A similar procedure was then followed to overlay the fractals with tiles of fxed radius. With the data obtained, the fractal mass contained in the fxed radius tiles was adjusted to a parabolic fractal distribution that depends exclusively on the fractal dimension and the tile radii. In order to confrm the results and check their independence of the sample used in the numerical simulations, a second sample of 400 fractals was generated and all the experiments were replicated. Subsequently, the distributions of both samples were compared to guarantee the validity of the results and the independence of the sample. As the distributions depend exclusively on the fractal dimension and the tile mass or radius, a manager can optimize the exploitation of infrastructures. The fractal dimension is a constraint imposed by the environment and the mass contained in the tiles or their radius is the parameter used by the manager to achieve optimization. Numerical simulations also allowed us to derive the expression that determines the time evolution of the fractal coverage, which turned out to be a power law for both types of tesselations. From these laws it follows that the exploitation costs grow rapidly with the number of tiles and that there is a maximum of exploitable resources in the fractal.