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Tesis:

Virtual Nonholonomic Constraints: A geometric approach

  • Autor: STRATOGLOU, Efstratios

  • Título: Virtual Nonholonomic Constraints: A geometric approach

  • Fecha: 2025

  • Materia:

  • Escuela: E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES

  • Departamentos: SIN DEPARTAMENTO DEFINIDO

  • Acceso electrónico: https://oa.upm.es/89192/

  • Director/a 1º: COLOMBO, Leonardo J.

  • Resumen: This thesis centers around the concepts of Geometric Control, Nonholonomic Mechanics, and Geometric Mechanics. Geometric Mechanics establishes the mathematical foundation for understanding the intrinsic structure and behavior of mechanical systems. In a nutshell, it offers geometric tools for a deeper understanding of the dynamics and control of mechanical systems. Nonholonomic Mechanics extend the analysis of these systems to systems subject to constraints on the velocities that are not integrable. Lastly, Geometric Control incorporates insights from both geometric and nonholonomic mechanics into the design of controllers that align with the underlying geometry of the system. In this dissertation, we develop a rigorous mathematical theory for virtual nonholonomic constraints. Virtual constraints are invariant relations imposed on a control system via feedback as opposed to real physical constraints acting on the system. Virtual nonholonomic constraints are defined as a controlled invariant distribution associated with an affine connection mechanical control system. We develop geometric tools sufficient to guarantee the existence and uniqueness of a control law that turns the constraint submanifold into virtual nonholonomic constraints and characterize the dynamics for nonholonomic systems in terms of virtual nonholonomic constraints, i.e., we characterize when can we obtain nonholonomic dynamics from virtual nonholonomic constraints. The theory is developed for systems evolving in general manifolds for constraints that are linear, affine and nonlinear in the velocities. We extend the theory in the framework of Lie groups and Riemannian homogeneous spaces. Finally, we discuss the problem of stabilizing a system around desired virtual nonholonomic constraints. In brief, we focus on the stabilization of systems around desired manifolds of the phase space, determined by virtual nonholonomic constraints. We prove the existence of a control law ensuring that the system adheres to the constraints. Additionally, we show that if the system already satisfies the constraints at a given point, the control law aligns with the unique control law derived along the dissertation, which guarantees the existence of a virtual nonlinear nonholonomic constraint. RESUMEN Esta tesis se centra en los conceptos de Control Geométrico, Mecánica Noholonoma y Mecánica Geométrica. La Mecánica Geométrica establece la base matemática para comprender la estructura intrínseca y el comportamiento de los sistemas mecánicos. En pocas palabras, ofrece herramientas geométricas para una comprensión más profunda de la dinámica y el control de los sistemas mecánicos. La Mecánica Noholonómica extiende el análisis de estos sistemas a aquellos sujetos a restricciones en las velocidades que no son integrables. Por último, el Control Geométrico incorpora ideas tanto de la mecánica geométrica como de la mecánica noholonómica en el diseño de controladores que se alinean con la geometría subyacente del sistema. En esta disertación, desarrollamos una teoría matemática rigurosa para las restricciones noholonómicas virtuales. Las restricciones virtuales son relaciones invariantes impuestas a un sistema de control mediante retroalimentación, en contraposición a las restricciones físicas reales que actúan sobre el sistema. Las restricciones noholonómicas virtuales se definen como una distribución invariante controlada asociada a un sistema de control mecánico basado en una conexión afín. Desarrollamos herramientas geométricas para garantizar la existencia y unicidad de una ley de control que transforme la subvariedad de restricción en restricciones noholonómicas virtuales y caracterizamos la dinámica de los sistemas noholonómicos en términos de restricciones noholonómicas virtuales, es decir, caracterizamos cuándo es posible obtener una dinámica noholonómica a partir de restricciones noholonómicas virtuales. La teoría se desarrolla para sistemas que evolucionan en variedades diferenciables abstractas para restricciones que son lineales, afines y no lineales en las velocidades. Además, extendemos la teoría al marco de grupos de Lie y espacios homogéneos Riemannianos. Finalmente, discutimos el problema de estabilizar un sistema en torno a restricciones noholonómicas virtuales deseadas. En resumen, nos enfocamos en la estabilización de sistemas alrededor de las variedades deseadas del espacio de fases, determinadas por restricciones noholonómicas virtuales. Demostramos la existencia de una ley de control que garantiza que el sistema se adhiera a las restricciones. Adicionalmente, mostramos que si el sistema ya satisface las restricciones en un punto dado, la ley de control se alinea con la única ley de control derivada a lo largo de la disertación, la cual garantiza la existencia de una restricción noholonómica virtual.