Autor: SHRESTHA, Suyash

Título: Projection-Based High-Order Discretisations and Variational Multiscale Analysis

Fecha: 2026

Materia: ---

Escuela: E.T.S.I. AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO

Departamento: MATEMATICA APLICADA A LA INGENIERIA AEROESPACIAL

Acceso electrónico: https://oa.upm.es/93785/

Director/a(s):

• Director/a: FERRER VACCAREZZA, Esteban
• Director/a: RUBIO CALZADO, Gonzalo

Resumen: This thesis develops a high-order discretisation methodology for partial differential equations (PDEs) based on the Variational Multiscale (VMS) framework, aimed to recover a chosen projection of the infinite-dimensional solution. The work is motivated by the need for numerical schemes that are both mathematically rigorous and effective in capturing multiscale phenomena while preserving the fundamental structural properties of the continuous problem. The first contribution is the explicit construction of the Fine-Scale Greens' function using the concept of dual basis functions. This approach reveals that dual basis functions naturally encode the projector associated with a VMS decomposition and are readily computable in arbitrary dimensions. The resulting Fine-Scale Greens' function reconstructs all unresolved scales truncated by the projection, providing a systematic and generalisable tool for multiscale modelling. Building on this foundation, an abstract VMS methodology is introduced through the concept of an optimal projector. The proposed discretisation method yields numerical solutions that approximate the optimal projection of the infinite-dimensional solution. In this methodology, the unresolved scales are approximated in a finite-dimensional subspace by numerically evaluating the Fine-Scale Greens' function of the symmetric part of the operator. The method employs a two-mesh strategy and achieves exponential convergence to the optimal projection in benchmark advectiondiffusion problems. The methodology is further extended to non-linear problems, with a focus on the two-dimensional incompressible Navier–Stokes equations. The formulation preserves a clear separation between resolved and unresolved scales and treats nonlinearity consistently through the symmetric operator. Importantly, the resulting schemes inherit key conservation properties, including discrete conservation of mass, kinetic energy, and vorticity, and enstrophy conservation under exact or over-integration. Numerical experiments confirm the robustness and accuracy of the method and highlight its potential for application to a broad class of non-linear multiscale problems. RESUMEN Esta tesis desarrolla una metodología de discretización de alto orden para ecuaciones en derivadas parciales (EDP) basada en el marco de Escalas Variacionales (VMS, por sus siglas en inglés), cuyo objetivo es recuperar una proyección elegida de la solución infinito-dimensional. El trabajo se motiva por la necesidad de contar con esquemas numéricos que sean tanto matemáticamente rigurosos como efectivos en la captura de fenómenos multiescala, preservando al mismo tiempo las propiedades estructurales fundamentales del problema continuo. La primera contribución consiste en la construcción explícita de la función de Green de las escalas finas mediante el concepto de funciones base duales. Este enfoque revela que las funciones base duales codifican de forma natural el proyector asociado a la descomposición VMS y son explícitamente computables en dimensiones arbitrarias. La función de Green resultante reconstruye todas las escalas no resueltas truncadas por la proyección, proporcionando así una herramienta sistemática y generalizable para el modelado multiescala. A partir de esta base, se introduce una formulación abstracta del método VMS mediante el concepto de proyector óptimo. El método de discretización propuesto produce soluciones numéricas que aproximan la proyección óptima de la solución infinito-dimensional. En este marco, las escalas no resueltas se aproximan en un subespacio de dimensión finita mediante la evaluación numérica de la función de Green de las escalas finas correspondiente a la parte elíptica del operador. El método emplea una estrategia de doble malla y alcanza convergencia exponencial hacia la proyección óptima en problemas de adveccióndifusión de referencia. Finalmente, el marco se extiende a problemas no lineales, con énfasis en las ecuaciones de NavierStokes incompresibles bidimensionales. La formulación mantiene una separación clara entre las escalas resueltas y no resueltas, y trata la no linealidad de manera coherente a través del operador elíptico. De forma destacable, los esquemas resultantes heredan importantes propiedades de conservación, incluyendo la conservación discreta de masa, energía cinética y vorticidad, así como la conservación de la enstrofía bajo integración exacta o sobre-integración. Los experimentos numéricos confirman la robustez y precisión del método, y destacan su potencial de aplicación a una amplia clase de problemas multiescala no lineales.