Tesis:
Dimensión print y medidas autosemejantes con solapamiento.
- Autor: RUIZ MORCILLO, Víctor Manuel
- Título: Dimensión print y medidas autosemejantes con solapamiento.
- Fecha: 2006
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: FACULTAD DE INFORMATICA
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA (FACULTAD DE INFORMATICA)
- Acceso electrónico:
- Director/a 1º: SASTRE ROSA, María Asunción
- Director/a 2º: REYES CASTRO, Miguel Eugenio
- Resumen: La tesis DIMENSIÓN PRINT Y MEDIDAS AUTOSEMEJANTES CON SOLAPAMIENTO se encuadra en el área de la teoría geométrica de la medida. Las ideas básicas para definir y analizar los conjuntos autosemejantes se remontan al trabajo de 1946 de P. A. P. Moran, siendo retomadas por B. Mandelbrot (1977) y J.E. Hutchinson (1981). Un conjunto autosemejante se puede expresar como unión de copias a escala del mismo conjunto. Los resultados publicados se refieren principalmente al caso en que estas copias son disjuntas o tienen solapamientos (intersecciones) pequeños. El caso de solapamientos con medida positiva tiene mayor complejidad y se resiste al análisis. En esta tesis se trata este problema, obteniéndose resultados sobre la dimensión de ciertas medidas autosemejantes con solapamientos. En un principio se planteó el estudio de la dimensión print de conjuntos autosemejantes. Este concepto, que fue introducido en 1988 por C. A. Rogers y fue estudiado también por M. Reyes, generaliza el de dimensión de Hausdorff pero resulta difícil de calcular. En la actualidad aún no se ha obtenido la dimensión print de conjuntos autosemejantes tan conocidos como el triángulo de Sierpinski o la curva de Koch, aunque se ha obtenido algún resultado parcial por M. A. Sastre. El planteamiento se basó en el estudio de las proyecciones de la medida uniforme soportada en el fractal, resultando ser estas proyecciones medidas autosemejantes con solapamientos. La investigación se centró finalmente en el problema del solapamiento. En primer lugar se construye una familia de medidas sobre los códigos comprobando que son ergódicas. Esta familia incluye, entre otros procesos, a las cadenas de Markov finitas ergódicas. El resultado central de la investigación es el cálculo de la dimensión de ciertas medidas autosemejantes asociada a una familia de sistemas de homotecias en Rd con centros racionales y razones todas iguales a 1/L, siendo L un número natural mayor o igual que 2. El resultado principal de la investigación realizada es la demostración de que la medida en este caso es dimensionalmente exacta y la obtención de una sucesión no creciente cuyo límite es la dimensión. Para llegar a este resultado se obtiene, en primer lugar una expresión explícita para la medida, y después se asocia esta medida a una de las que se han construido con anterioridad. Finalmente, estos resultados se aplican a algunos casos particulares y se presentan algunos programas informáticos desarrollados con Mapple que nos permiten el cálculo aproximado de la dimensión en casos concretos.