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Tesis:

Análisis de la perturbación de la inversa de Drazin de matrices, elementos en anillos y operadores acotados en espacios de Banach.

  • Autor: VELEZ CERRADA, José Ignacio

  • Título: Análisis de la perturbación de la inversa de Drazin de matrices, elementos en anillos y operadores acotados en espacios de Banach.

  • Fecha: 2007

  • Materia: Sin materia definida

  • Escuela: FACULTAD DE INFORMATICA

  • Departamentos: MATEMATICA APLICADA (E.U. INFORMATICA)

  • Acceso electrónico: http://oa.upm.es/1086/

  • Director/a 1º: CASTRO GONZALEZ, Nieves

  • Resumen: La generalización de la noción de inversa para trasformaciones lineales no invertibles ha sido estudiada por numerosos investigadores en los últimos años. Así, han sido definidas varias “pseudoinversas” para las matrices no invertibles. Dentro de estas, la inversa de Moore-Penrose, definida independientemente por Moore (1920) y por Penrose (1955), nos aporta la solución por mínimos cuadrados de norma mínima de un sistema singular lineal de ecuaciones algebraicas. Sin embargo, tal inversa no posee propiedades del tipo GA = AG, si A es un autovalor de A, entonces 1/A es un autovalor de G y, si A es semejante a G entonces A y G tienen los mismos valores singulares, donde G es la inversa de Moore-Penrose de A. En 1958, M. P. Drazin introduce, a partir de una definición algebraica, un nuevo tipo de inversa generalizada, la inversa de Drazin, que denotaremos por AD, la cual si posee las propiedades anteriores. En este trabajo nos centraremos en tal inversa. La inversa de Drazin presenta variadas e importantes aplicaciones en la resolución de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales y ecuaciones lineales en diferencias, en la criptografía, en la teoría del control óptimo y en las cadenas de Markov. El buscador de Internet Google utiliza el algoritmo PageRank para ordenar los resultados de las búsquedas. Este algoritmo puede ser interpretado en términos de una cadena Markov, en la cual los estados son las páginas, y las transiciones entre los estados son los enlaces (links) entre las páginas de Internet. El vector estacionario de esta cadena de Markov, llamado vector PageRank, tiene como componentes las probabilidades de que una página sea visitada. Si T es la matriz de transición de una cadena de Markov, en teoría, toda la información de ésta puede ser extraída de la matriz A = T - I y de AD. Esta “pseudoinversa” es inestable respecto a perturbaciones, esto es, si Aj} con j = 1, 2,..., y A son n x n matrices tales que A,- -» A, entonces, en general, no se tiene que Af -»• AD. En [6], S. L. Campbell y C. D. Meyer, establecieron una condición necesaria y suficiente para la continuidad de la inversa de Drazin. Formularon que si Aj-> A, entonces Af -»• AD si y sólo si existe un entero positivo j0 tal que rg(Ak/) = rg(Ak), para j > j0 y para ciertos enteros positivos ká y k. En dicho documento señalaron la dificultad de obtener cotas del error para la perturbación de la inversa de forma similar a las formuladas para la inversa de Moore-Penrose, como fueron establecidas por G. W. Stewart, [86]. La razón de esta afirmación estaría en que es algo más complicado trabajar algebraicamente con esta inversa que con la inversa de Moore-Penrose. La inversa de Moore-Penrose posee un tipo de ley de cancelación (si GAB = GAC entonces AB = AC) que la inversa de Drazin no tiene. Además, la inversa de Drazin puede ser pensada en términos de la forma canónica de Jordán y, la forma de Jordán, no es una función continua de ¡nnxn ¡nnxn La perturbación de la inversa de Drazin ha sido estudiada por diversos autores dando cotas del error relativo \\BD - AD\\/\\AD\\ bajo la condición rg(Bs) = rg(Ak), siendo s y k los índices de Drazin de B y A, respectivamente. Cuando el valor de los índices es igual a uno, nos referimos a la perturbación del Grupo inverso, que denotaremos por AK Este caso es de especial interés dentro de la teoría de la inversa de Drazin. Bajo las hipótesis ind{B) = md(A) = 1 y rg(B) = rg(A), en [62, 91], se de¬dujeron estimaciones para ||5» - A»||/||A»||. Suponiendo md(B) = 1 e md(A) = k y, rg(B) = rg(Ak), en [16, 61, 95] fueron obtenidas nuevas cotas usando la norma espectral. El caso rg{Bs) = rg(Ak), donde s = %nd{B) y k = %nd{A) fue estudiado en [97, 98, 102]. Para elementos de un álgebra de Banach en [79] se halló una cota superior de En el marco de la teoría de operadores la perturbación de la inversa de Drazin ha sido estudiada en [14, 17]. En esta linea han trabajado varios autores, citemos entre otros a S. L. Campbell, N. Castro, J. J. Koliha, X. Li, C. D. Meyer, V. Rakocevic, Y. Wei y H. Wu. A continuación expondremos la estructura de este trabajo y los aspectos más relevantes tratados en este estudio. En el Capítulo 1 introduciremos las inversas generalizadas. También daremos una breve exposición cronológica de los logros más significados relacionados con la inversa de Drazin. En el Capítulo 2 se dan los conceptos y resultados más importantes acerca de la inversa de Drazin de matrices cuadradas que serán empleados en el desarrollo de los Capítulos 3 y 4. Se introducirá el concepto de proyección espectral asociada al autovalor 0 de una matriz cuadrada que denotaremos por A\ Diversos resultados que muestran el importante papel que juega en la teoría de la inversa de Drazin. En los Capítulos 3, 4, 5 y 6 se presenta la investigación realizada. En el Capítulo 3 se analiza en primer lugar la perturbación de la proyección espectral asociada al 0 en relación con la inversa de Drazin. Se considerarán los proyectores oblicuos de la forma Q = An + S y, bajo la condición I - S2 no singu¬lar, se caracterizarán las matrices perturbadas B tales que su proyección espectral asociada al 0, B*, verifican Bn = Q. Entre otros resultados, se verá que su inversa de Drazin verifica la fórmula BD = (I + S + AD(B - A))-lAD(I - S). A partir de esta, posteriormente se derivarán cotas superiores de ||5D|| y \\BD - AD\\/\\AD\\, en términos de \\S\\. Diversos casos serán estudiados. En la Sección 3.3 se introducirá la clase de matrices B e Cnxn las cuales satis¬facen la siguiente condición, para algún entero positivo s, (ca) : n(Bs) nM{Ak) = {0} y M{BS) n n(Ak) = {o}, donde A E Cnxn con k = ind(A). Probaremos que las condiciones (C8) y rg(Bs) = rg(Ak) = rg(AkBsAk) son equi¬valentes. Otras caracterizaciones serán dadas. Estudiaremos en primer lugar el caso s = 1. El Grupo inverso juega un papel importante en el estudio de la estabilidad de las cadenas de Markov. Extenderemos los resultados obtenidos al caso s > 1. En la Sección 3.4 se aplicarán los resultados obtenidos en secciones anteriores para dar diversos resultados de perturbación. A partir de una fórmula para BD en términos de B - A y Bn - An, válida para las matrices relacionadas por / - (B* - A*)2 es no singular, se derivarán cotas su¬periores para la inversa de Drazin de B y su error relativo. Para las matrices que cumplen ind{B) = 1 y (d) obtendremos una fórmula explícita de B\ de la cual se deducirán cotas superiores de \\B^ - AD\\/\\AD\\ y \\B*-A*\\. Se extenderán los resultados obtenidos al caso s > 1, deduciéndose una expresión explícita de BD y, cotas superiores para el error relativo de la inversa de Drazin y \\BBD-AAD\\. Como aplicaciones, en la Sección 3.5 obtendremos una estimación de \\B* - An\\ en términos de las proyecciones ortogonales sobre los subespacios núcleo e imagen de Bs y Ak. Se aplicarán las acotaciones superiores de la inversa de Drazin y del error relativo de la perturbación para obtener una estimación del error en la solución de sistemas singulares. Para finalizar, estudiaremos un tipo especial de perturbaciones B = A+E, dentro de la clase (C8), que incluye a las matrices tales que B2ADA = (BADA)2. Deducire¬mos una fórmula explícita para la inversa de Drazin de este tipo de perturbaciones, de la cual obtendremos una nueva cota superior de \\BD - AD\\/\\AD\\. Los principales resultados obtenidos en la Sección 3.2 generalizan [16, Teorema 2.1, Teorema 3.1 y Corolario 2.3], donde se caracterizaban las matrices con proyec¬ciones espectrales iguales. Mediante ejemplos numéricos mostraremos que las cotas obtenidas en la Sección 3.4, para el caso s = 1, son mejores que las dadas en [62, Teorema 3] y [97, Teorema 4 y Teorema 5], y para el caso s > 1, que las deducidas en [97, Teorema 1, Teorema 4 y Teorema 5] y [98, Teorema 4.1]. La aplicación a sistemas lineales singulares generaliza [100, Theorem 4.1] y el principal resultado del Apartado 3.5.3 generaliza el dado en [63, Teorema 3.2]. Parte de los resultados concernientes a la perturbación de la proyección espectral han sido publicados con el título Characterizations of matrices whose eigen-projections at zero are equal to a fixed perturbation, [19], y los relacionados con el estudio de las matrices que cumplen (C8) lo serán bajo el nombre Characte¬rizations of a class of matrices and perturbations of the Drazin inverse, [18]. En el Capítulo 4 se estudiará la perturbación de la inversa de Drazin de una matriz rectangular. La inversa de Drazin en el contexto de las matrices rectangulares será llamada W-Drazin inversa y denotada por AD'W. Primero, se expondrán diversos aspectos de la W-Drazin inversa y del W-soporte idempotente de una matriz A, denotado por Aa'w. En la Sección 4.3 se darán diversas caracterizaciones de las matrices rectangulares B con W-soportes idempotentes relacionados por la condición WBa'w = WAa'w, entre otros resultados. También se estudiarán las matrices que verifican la condición simétrica Ba'wW = Aa'wW y aquellas con igual W-soporte idempotente. En la Sección 4.4, de los resultados obtenidos anteriormente, derivaremos cotas superiores para la W-Drazin inversa de B y para \\BD