Tesis:
Algebrización de la dinámica de sistemas discretos : representación matricial de las cascadas de bifurcación.
- Autor: CERRADA CANALES, Lucía
- Título: Algebrización de la dinámica de sistemas discretos : representación matricial de las cascadas de bifurcación.
- Fecha: 2011
- Materia: Dinámica de Sistemas / Sistemas Discretos / Tesis Doctorales
- Escuela: E.U.I.T. INDUSTRIAL
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA (E.U.I.T. INDUSTRIAL)
- Acceso electrónico:
- Director/a 1º: SAN MARTIN MORENO, Jesús
- Resumen: Los sistemas dinámicos unidimensionales, regidos por funciones unimodales, son los arquetipos para estudiar la dinámica de sistemas. Ello se debe tanto a la gran riqueza de comportamientos que presentan como a su ubicuidad. Desde un punto de vista analítico tienen un gran soporte en los trabajos de Epstein, Landford y Eckmann, que fundamentaron matemáticamente los revolucionarios trabajos de Feigenbaum y su cascada de duplicación de periodo. Desde un punto de vista topológico descansan en el trabajo de Metrópolis, Stein y Stein sobre la construcción de secuencias simbólicas y el trabajo de Milnor y Thurston acerca de la universalidad del diagrama de bifurcación. Este amplio cuerpo de conocimiento, pero inconexo, de los sistemas dinámicos unidimensionales, incita a un proceso de algebrización, y por tanto de conexión entre sus partes, que tan fructífero ha resultado ser siempre en matemáticas, Ese ha sido el trabajo realizado en esta tesis para los sistemas dinámicos unidimensionales. El trabajo de algebrización ha partido de la construcción de la representación matricial de las órbitas, dado que todo proceso posterior de investigación siempre se verá favorecido por las potentes y bien conocidas herramientas del álgebra lineal. Una vez construida la matriz de representación orbital, se ha procedido a enunciar, y demostrar, el teorema de composición de las matrices de representación orbital. Este teorema permite encontrar la representación matricial de una órbita de periodo p x q a partir de las matrices de representación de las órbitas p y q, es decir, deducir una información que era previamente desconocida. Dada la especial importancia que revisten las cascadas de duplicación de periodo y las cascadas de bifurcaciones saddle-node, se ha continuado con la representación matricial de ambas cascadas. El proceso se ha realizado de forma general, para cualquier ventana, lo que incluye ventanas dentro de ventanas a cualquier nivel de profundidad; en este esquema subyace la estructura fractal que muestra el diagrama de bifurcación de los sistemas dinámicos unidimensionales. El trabajo se completa con la representación matricial de las órbitas de secuencia simbólica RL. . . LR. . . RO y periodo arbitrario. Estas órbitas son los pilares básicos para entender cualquier otra órbita y son, de por sí, un conjunto con infinitos elementos. Sobre ese conjunto de órbitas se aplican los resultados previos para componerlas entre sí, y obtener la representación matricial de sus cascadas de duplicación de periodo y cascadas de bifurcación saddle-node. Destaquemos que conocida la representación matricial de una órbita de periodo arbitrario p, la representación matricial de la cascada de bifurcaciones saddle-node nos permite obtener la representación matricial de las órbitas de periodo p x 2q que se localizan en todas las bandas caóticas.