Tesis:
Medidas autosemejantes en el plano, momentos y matrices de Hessenberg.
- Autor: ESCRIBANO IGLESIAS, María del Carmen
- Título: Medidas autosemejantes en el plano, momentos y matrices de Hessenberg.
- Fecha: 2012
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: FACULTAD DE INFORMATICA
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA (FACULTAD DE INFORMATICA)
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/14306/
- Director/a 1º: SASTRE ROSA, Mª Asunción
- Director/a 2º: TORRANO JIMENEZ, Emilio
- Resumen: La tesis Medidas autosemejantes en el plano, momentos y matrices de Hessenberg se enmarca entre las áreas de la teoría geométrica de la medida, la teoría polinomios ortogonales y la teoría de operadores. La memoria aborda el estudio de medidas con soporte acotado en el plano complejo vistas con la óptica de las matrices infinitas de momentos y de Hessenberg asociadas a estas medidas que en la teoría de los polinomios ortogonales las representan. En particular se centra en el estudio de las medidas autosemejantes que son las medidas de equilibrio definidas por un sistema de funciones iteradas (IFS). Los conjuntos autosemejantes son conjuntos que tienen la propiedad geométrica de descomponerse en unión de piezas semejantes al conjunto total. Estas piezas pueden solaparse o no, cuando el solapamiento es pequeño la teoría de Hutchinson [42] funciona bien, pero cuando no existen restricciones falla. El problema del solapamiento consiste en controlar la medida de este solapamiento. Un ejemplo de la complejidad de este problema se plantea con las convoluciones infinitas de distribuciones de Bernoulli, que han resultado ser un ejemplo de medidas autosemejantes en el caso real. En 1935 Jessen y A. Wintner [43] ya se planteaba este problema, lejos de ser sencillo ha sido estudiado durante más de setenta y cinco años y siguen sin resolverse las principales cuestiones planteadas ya por A. Garsia [34] en 1962. El interés que ha despertado este problema así como la complejidad del mismo está demostrado por las numerosas publicaciones que abordan cuestiones relacionadas con este problema ver por ejemplo[43], [19], [50], [48], [47], [57], [49], [50], [45]. En el primer capítulo comenzamos introduciendo con detalle las medidas autosemejante en el plano complejo y los sistemas de funciones iteradas, así como los conceptos de la teor ía de la medida necesarios para describirlos. A continuación se introduce las herramientas necesarias de teoría de polinomios ortogonales, matrices infinitas y operadores que se van a usar. En el segundo y tercer capítulo trasladamos las propiedades geométricas de las medidas autosemejantes a las matrices de momentos y de Hessenberg, respectivamente. A partir de estos resultados se describen algoritmos para calcular estas matrices a partir del IFS correspondiente. Concretamente, se obtienen fórmulas explícitas y algoritmos de aproximación para los momentos y matrices de momentos de medidas fractales, a partir de un teorema del punto fijo para las matrices. Además utilizando técnicas de la teoría de operadores, se han extendido al plano complejo los resultados que G. Mantica [48, 47] obtenía en el caso real. Este resultado es la base para definir un algoritmo estable para aproximar la matriz de Hessenberg asociada a una medida fractal u obtener secciones finitas exactas de matrices Hessenberg asociadas a una suma de medidas. En el último cap ítulo, se consideran medidas, μ, más generales y se estudia el comportamiento asintótico de los autovalores de una matriz hermitiana de momentos y su impacto en las propiedades de la medida asociada. En el resultado central se demuestra que si los polinomios asociados son densos en L2(μ) entonces necesariamente el mínimo autovalor de las secciones finitas de la matriz de momentos de la medida tiende a cero.