Tesis:
Contribución al estudio de las negaciones, autocontradicción, t-normas y t-conormas en los conjuntos borrosos de tipo 2.
- Autor: HERNANDEZ VARELA, Pablo Ramón
- Título: Contribución al estudio de las negaciones, autocontradicción, t-normas y t-conormas en los conjuntos borrosos de tipo 2.
- Fecha: 2014
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S DE INGENIEROS INFORMÁTICOS
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA (FACULTAD DE INFORMATICA)
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/30861/
- Director/a 1º: CUBILLO VILLANUEVA, Susana
- Director/a 2º: TORRES BLANC, Carmen
- Resumen: Los conjuntos borrosos de tipo 2 (T2FSs) fueron introducidos por L.A. Zadeh en 1975 [38], como una extensión de los conjuntos borrosos de tipo 1 (FSs). Mientras que en estos últimos el grado de pertenencia de un elemento al conjunto viene determinado por un valor en el intervalo [0,1], en el caso de los T2FSs el grado de pertenencia de un elemento es un conjunto borroso en [0,1], es decir, el grado de pertenencia está en M (conjunto de las funciones de [0,1] en [0,1]). El hecho de que la función de pertenencia de los conjuntos de tipo 2 sea borrosa, los posibilita de una mejor manera que los tipo 1, para modelar la incertidumbre (ver [7, 21]). El potencial que tienen los T2FSs, se ha enfrentado a la dificultad teórica y computacional para hacer operaciones sobre estos conjuntos, lo cuál ha frenado un poco su aplicación en los sistemas de Lógica Borrosa. Sin embargo, actualmente se están desarrollando métodos teóricos (ver [7, 8, 9, 23, 25, 32]) para hacer más fácil y eficiente las operaciones sobre dichos conjuntos, dándole en los últimos años, un mayor y mejor protagonismo en las aplicaciones [6, 32]. Desde que los T2FSs fueron introducidos, se han generalizado a dicho conjunto (ver [17, 18, 20, 24, 27, 28, 34], por ejemplo), a partir del “Principio de Extensión” de Zadeh [38], muchas de las definiciones, operaciones, propiedades y resultados obtenidos en los FSs. Sin embargo, como sucede en cualquier área de investigación, quedan muchas lagunas y problemas abiertos que suponen un reto para cualquiera que quiera hacer un estudio profundo en este campo. A este reto se han enfrentado los autores del presente trabajo, logrando avances importantes en este sentido de “rellenar huecos” existentes en la teoría de Conjuntos Borrosos de tipo 2. El trabajo de investigación que se presenta en esta Tesis Doctoral se enmarca dentro de este campo de la Teoría de los Conjuntos Borrosos de tipo 2, y más concretamente en el estudio de las operaciones de negación, t-norma (norma triangular) y t-conorma; y de las propiedades de autocontradicción y N-autocontradicción en los T2FSs. Metodología científica Al tratarse de una investigación teórica matemática, la metodología ha consistido en una investigación documental, basada en la lectura y estudio del estado del arte (investigaciones ya publicadas sobre el tema), y la aplicación de métodos deductivos e inductivos que permitieran el desarrollo de nuevas teorías y la obtención de nuevos resultados. La investigación tuvo como punto de partida la asistencia del doctorando a los cursos impartidos por algunos profesores de la UPM en Venezuela dentro del Programa de Doctorado Fundamentos Matemáticos de la Computación. Aunque la comunicación entre doctorando y directoras de tesis ha sido principalmente por vía telemática, según se ha ido avanzando en la elaboración de los resultados presentados, se han aprovechado las asistencias a Congresos para mantener reuniones personales. Contribuciones originales Respecto a la autocontradicción y N- autocontradicción en los FSs y en los Conjuntos Borrosos “Intuisionistas” de Atanassov (AIFSs), existen bastantes publicaciones (entre otras [5, 10, 29, 30]), sin embargo, estas propiedades no han sido estudiadas en el marco de los Conjuntos Borrosos de Tipo 2. Y ha este estudio se dedica el tercer capítulo de la Tesis. Respecto a las operaciones denominadas negaciones, t-normas y t-conormas, han sido ampliamente estudiadas (ver [1, 2, 3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 22, 26, 31], por ejemplo) en los FSs, AIFSs y en los Conjuntos Borrosos Intervalos-Valorados (IVFSs). Luego, basados del principio de extensión de Zadeh, dichas operaciones se han generalizado a los T2FSs (ver [17, 18, 19, 20, 21, 24, 27, 28, 34, 36], por ejemplo), sin embargo, por una parte no se ha realizado un estudio profundo acerca del cumpliento de los axiomas, por parte de estas operaciones de tipo-2, para ser consideradas verdaderas negaciones, t-normas y t-conormas sobre los T2FSs. Por otra parte, existen otras operaciones que no se derivan del principio de extensión, y que pueden cumplir los axiomas requeridos para ser verdaderas negaciones, t-normas y t-conormas sobre los T2FSs. En este sentido, el segundo capítulo se dedica al estudio de las operaciones de negación sobre los T2FSs; y el cuarto capítulo se dedica a las t-normas y t-conormas sobre los T2FSs. Cabe destacar que se obtuvieron resultados sobre M, y especialmente sobre L (conjunto de las funciones de M, normales y convexas), ya que M no tiene estructura de retículo, pero, L si lo tiene, lo cual permite construir operaciones de forma adecuada. Como contribuciones originales, en el segundo capítulo se presentan los axiomas para definir negación y negación fuerte sobre M. Además, se analiza si la operación usual de negación (generalizada por el principio de extensión) sobre M, realmente cumple los axiomas para ser negación o negación fuerte sobre M. También se introduce un conjunto de operaciones sobre M, más generales que las ya existentes, y se estudia, entre otras propiedades, si son negación o negación fuerte sobre L. Estas investigaciones fueron publicadas en: 1. P. Hernández, S. Cubillo y C. Torres-Blanc. Negaciones sobre los conjuntos borrosos de tipo 2. Actas LXII Convención anual Asovac, Caracas (Venezuela), pp. 410, 2012. 2. P. Hernández, S. Cubillo y C. Torres-Blanc. Negations on type-2 fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, 2013. In Press: http://dx.doi.org/10.1016/j.fss.2013.12.004. Las contribuciones originales sobre las propiedades de autocontradicción y N-autocontradicción se presentan en el tercer capítulo. Aquí se inicia el estudio de dichas propiedades en el marco de los T2FSs, generalizando las definiciones de conjunto autocontradictorio y N- autocontradictorio sobre L. Se logran establecer criterios para verificar dichas propiedades sobre L. Y se analizan las equivalencias entre los criterios obtenidos con los existentes en los FSs y los IVFSs, cuando se restringe L a isomorfismos de dichos conjuntos. Estas investigaciones fueron publicadas en: 3. P. Hernández, S. Cubillo y C. Torres-Blanc. Autocontradicción en el conjunto de las funciones de [0,1]^[0,1] normales y convexas. Actas del XVI Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica Fuzzy (ESTYLF), Valladolid (España), pp. 48–53, 2012. 4. P. Hernández, S. Cubillo y C. Torres-Blanc. Antecedentes, Lagunas y nuevos resultados en los conjuntos borrosos de tipo 2. Actas del XVII Congreso Español sobre Tecnologías y Lógica Fuzzy (ESTYLF), Zaragoza (España), pp. 393-398, 2014. Las contribuciones originales sobre las operaciones binarias t-normas y t-conormas sobre los T2FSs se presentan en el cuarto capítulo. Aquí se definen dos conjuntos de operaciones sobre M, más generales que las dadas en investigaciones previas (ver, por ejemplo, [34, 36]), y se determinó, entre otras propiedades, que satisfacen los axiomas restrictivos (axiomas dados en [16, 34, 36]), para definir t-normas y t-conormas, respectivamente, sobre L. También se presentaron dos conjuntos de operaciones sobre M, totalmente diferentes a todas las operaciones dadas anteriormente, y se determinó, entre otras propiedades, que satisfacen los axiomas usuales o básicos para definir t-normas y t-conormas, respectivamente, sobre L. Se debe señalar que las tr-normas (tr-conormas) están incluidas en el conjunto de las t-normas (t-conormas). Estas investigaciones fueron publicadas en: 5. P. Hernández, S. Cubillo y C. Torres-Blanc. About t-norms on type-2 fuzzy sets. Proceedings of the 8th Conference of the European Society for Fuzzy Logic and Technology (EUSFLAT), Milán (Italia), pp. 171–178, 2013. 6. P. Hernández, S. Cubillo y C. Torres-Blanc. Nuevas operaciones binarias sobre los conjuntos borrosos de tipo 2. Actas del IV Congreso Español de Informática (CEDI), Madrid (España), pp. 1250–1259, 2013. Bibliografía Se presenta a continuación la documentación más significativa utilizada en la elaboración de esta Tesis Doctoral [1] H. Bustince, J. Kacprzyk y V. Mohedano. Intuitionistic fuzzy generators application to intuitionistic fuzzy complementation. Fuzzy Sets and Systems, 114, pp. 485-504, 2000. [2] H. Bustince, E. Barrenechea y M. Pagola. Generation of interval-valued fuzzy and Atanassov’s intuitionistic fuzzy connectives from fuzzy connectives and from Kα operators: laws for conjunctions and disjunctions, amplitude. Internat. J. Intell. Systems, 23, pp. 680-714, 2008. [3] H. Bustince, E. Barrenechea, M. Pagola y J. Fernandez. Interval-valued fuzzy sets constructed from matrices: application to edge detection. Fuzzy Sets and Systems, 160, pp. 1819-1840, 2009. [4] O. Castillo y P. Meling. Type-2 fuzzy logic, en type-2 fuzzy logic: theory and application. Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 223, Springer, Berlin, pp. 29-43, 2008. [5] E. Castiñeira, S. Cubillo y C. Torres. Searching degrees of self-contradiction in Atanassov’s fuzzy sets. Mathware and Soft-Computing, 13(3), pp. 136–156, 2006. [6] S. Coupland, M. Gongora, R. John y K. Wills. A comparative study of fuzzy logic controllers for autonomous robots. Proceedings of IPMU 2006, Paris (France), pp. 1332-1339, 2006. [7] S. Coupland y R. Jhon. A fast geometric method for defuzzification of type-2 fuzzy sets, IEEE Trans. Fuzzy Syst., 16 (4), pp. 929–941, 2008. [8] S. Coupland y R. John. Fuzzy logic and computational geometry. Proceedings of RASC 2004, Nottingham (England), pp. 3–8, 2004. [9] S. Coupland y R. John. Geometric type-1 and type-2 fuzzy logic systems. IEEE Trans. Fuzzy Syst., 15 (1), pp. 3-15, 2007. [10] S. Cubillo, C. Torres y E. Castiñeira. Self-contradiction and contradiction between two intuitionistic fuzzy sets. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 16(3), pp. 283-299, 2008. [11] B. De Baets y R. Mesiar. Triangular norms on product lattices. Fuzzy Sets and Systems, 104, pp. 61-75, 1999. [12] G. De Cooman y E. Kerre. Order norms on bounded partially ordered sets. Journal Fuzzy Mathematics, 2, pp. 281–310, 1994. [13] G. Deschrijver, C. Cornelis y E. Kerre. Intuitionistic fuzzy connectives revisited. Proceedings IPMU, July 1-5, Annecy (France), pp. 1839-1844, 2002. [14] G. Deschrijver, C. Cornelis y E. Kerre. On the representation of intuitionistic fuzzy t-norms and t-conorms. IEEE Trans. Fuzzy Systems, 12, pp. 45-61, 2004. [15] F. Esteva y X. Domingo. Sobre funciones de negación en [0,1]. Stochastica, 4 (2), pp. 141-165, 1980. [16] M. Gehrke, C. Walker y E. Walker. Some comments on interval-valued fuzzy Sets. Internat. J. Intell. Systems, 11, pp. 751-759, 1996. [17] Z. Gera y J. Dombi. Exact calculations of extended logical operations on fuzzy truth values. Fuzzy Sets and Systems, 159, 11, pp. 1309-1326, 2008. [18] Z. Gera y J. Dombi. Type-2 implications on non-interactive fuzzy truth values. Fuzzy Sets and Systems, 159 (22), pp. 3014-3032, 2008. [19] J. Harding, C. Walker y E. Walker. Lattices of convex normal functions. Fuzzy Sets and Systems, 159, pp. 1061-1071, 2008. [20] B. Hu y C. Kwong. On type-2 fuzzy sets and their t-norm operations. Inform. Sci., 255, pp. 58-81, 2014. [21] N. Karnik y J. Mendel. Operations on type-2 fuzzy sets. Fuzzy Sets and Systems, 122, pp. 327-348, 2001. [22] P. Klement, R. Mesiar y E. Pap. Triangular Norms. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2000. [23] F. Liu. An efficient centroid type-reduction strategy for general type-2 fuzzy logic system. Inf. Sci., 178, pp. 2224-2236, 2008. [24] J. Mendel y R. Jhon. Type-2 fuzzy sets made Simple. IEEE Trans. Fuzzy Systems, 10 (2), pp. 117–127, 2002. [25] J. Mendel, F. Liu y D. Zhai. α-plane representation for type-2 fuzzy sets: Theory and applications. IEEE Trans. Fuzzy Syst., 17 (5), pp. 1189-1207, 2009. [26] K. Menger. Statical metrics. Proceedings of Nat. Acad. Sci. U.S.A., 37, pp. 535–537, 1942. [27] M. Mizumoto y K. Tanaka. Fuzzy sets of type-2 under algebraic product and algebraic sum. Fuzzy Sets and Systems, 5, pp. 277–290, 1981. [28] M. Mizumoto y K. Tanaka. Some properties of fuzzy sets of type-2. Inf. Control, 31, pp. 312–340, 1976. [29] E. Trillas, C. Alsina y J. Jacas. On contradiction in fuzzy logic. Soft Computing 3 (4), pp. 197–199, 1999. [30] E. Trillas y S. Cubillo. On non-contradictory input/output couples in Zadeh’s CRI. Proceedings NAFIPS, New York (USA), pp.28-32, 1999. [31] E. Trillas. Sobre funciones de negación en la teoría de conjuntos difusos, Stochastica, 3 (1), pp. 47-60, 1979. [32] C. Wagner y H. Hagras. Toward general type-2 fuzzy logic systems based on zSlices. IEEE Trans. Fuzzy Syst., 18 (4), pp. 637–660, 2010. [33] C. Walker y E. Walker. Some general comments on fuzzy sets of type-2. Internat. J. Intell. Systems, 24, pp. 62-75, 2009. [34] C.Walker y E.Walker. The algebra of fuzzy truth values. Fuzzy Sets and Systems, 149, pp. 309–347, 2005. [35] C.Walker y E.Walker. The Algebra of truth values of type-2 fuzzy sets: a survey. Interval / Probabilistic Uncertainty and Non-Classical Logics, pp. 245-255, 2008. [36] C. Walker y E. Walker. T-norms for type-2 fuzzy sets. Proceedings. Internat. Conf. on Fuzzy Systems (IEEE 2006), July 16–21, Vancouver (Canadá), pp. 1235-1239, 2006. [37] L. Zadeh. Fuzzy Sets. Inf. Control, 20, pp. 301–312, 1965. [38] L. Zadeh. The concept of a linguistic variable and its application to approximate Reasoning-I. Inf. Sci., 8, pp. 199-249, 1975. Conclusiones En la presente Tesis se han cumplido en general todos los objetivos previstos. En concreto: Capítulo 2. - Se han presentados los axiomas que debe cumplir una función en M para ser considerado negación y negación fuerte sobre M. - Se ha definido un nuevo conjunto de operación sobre M, más general que los usuales (existentes), asociada a negaciones suprayectivas en [0,1]. - Se ha determinado la falla del axioma de decrecimiento en M, en las operaciones usuales y en el nuevo conjunto de operaciones. - Se ha determinado que el nuevo conjunto de operaciones es negación sobre L . - Se ha determinado que el nuevo conjunto de operaciones es negación fuerte sobre L, si y sólo si esta asociada a una negación fuerte en [0,1]. - Se han determinado otras propiedades interesantes en L, y en M, acerca del nuevo conjunto de operaciones. Por ejemplo, las leyes de De Morgan, respecto a otras operaciones binarias sobre M. - Se han establecido las condiciones que debe satisfacer una función en M, para ser considerada punto fijo en el nuevo conjunto de operaciones. Capítulo 3. - Se han extendidos las definiciones de autocontradicción y N-autocontradicción sobre L. - Se han caracterizado los criterios y se han dado las condiciones que debe tener una fución en L, para que se verifique la propiedad de autocontradicción o de N-autocontradicción. - Se han establecidos las equivalencias entre los criterios de autocontradicción y N-autocontradicción de una función en L, y los dados para los FSs y los IVFSs. Capítulo 4. - Se han definido dos conjuntos de operaciones binarias sobre M, más generales a los existentes, asociadas a t-normas y (o) t-conormas en [0,1]. - Se han determinado las condiciones para que estos conjuntos de operaciones binarias (más generales) sean tr-norma y tr-conorma, respectivamente, sobre L. - Se ha establecido que si los conjuntos de operaciones binarias (más generales) se definen (o asocian) con t-conormas o algún tipo de t-norma no continua en [0,1], como operaciones en los grados secundarios, entonces no son tr-norma y tr-conorma, respectivamente, sobre L. - Se han estudiado otras propiedades interesantes en L, y en M, acerca de los dos conjuntos de operaciones binarias (más generales). Por ejemplo, se han analizado las propiedades distributivas sobre M. - Se han presentado otros dos conjuntos de operaciones binarias sobre M, diferentes a todas las dadas anteriormente, y que no se obtienen por el principio de extensión. - Se ha determinado que estos nuevos conjuntos de operaciones binarias son t-norma y t-conorma, respectivamente, sobre L. Y solamente falla un axioma (clausura en un subconjunto de L), para ser considerados tr-norma y tr-conorma, respectivamente, sobre L. - Se han estudiado otras propiedades interesantes en L, y en M, acerca de estos nuevos conjuntos de operaciones binarias. Por ejemplo, se han analizado las propiedades distributivas sobre M, y las leyes de De Morgan.