Tesis:
Studies on Chaotic Intermittency
- Autor: ELASKAR ORITJA, Sergio Amado
- Título: Studies on Chaotic Intermittency
- Fecha: 2018
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S.I. AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
- Departamentos: FISICA APLICADA
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/51376/
- Director/a 1º: RÍO FERNÁNDEZ, Ezequiel del
- Resumen: La intermitencia caótica ha sido observada en fenómenos físicos, químicos, económicos, en neurociencia, medicina, etc. Una descripción precisa de fenómeno de intermitencia ayudará a mejorar el conocimiento de estos sistemas. Por otro lado, la caracterización adecuada de la intermitencia posee gran relevancia en sistemas cuyas ecuaciones son total o parcialmente desconocidas. Tradicionalmente, el fenómeno de intermitencia caótica ha sido clasificado en tipo I, I I y III según los multiplicadores de Floquet de la solución periódica (órbita) del sistema dinámico o los valores propios del punto fijo del mapa local de Poincaré. Para este tipo de intermitencias, cuando un determinado parámetro de control excede el valor crítico, una solución periódica del sistema dinámico o un punto fijo del mapa de Poincaré pierden su estabilidad o incluso pueden desaparecer. La intermitencia tipo I aparece cuando un multiplicador escapa del círculo unitario a travs de +1, luego la solución periódica pierde su estabilidad mediante una bifurcación tipo cyclic-fold. La intermitencia tipo I I aparece mediante una bifurcación subcrítica de Hopf o una bifurcación de Neimark-Sacker, cuando dos multiplicadores complejos conjugados de la órbita del sistema salen del círculo unitario. Intermitencia de tipo III se produce cuando un multiplicador deja el círculo unitario por -1. En este caso, se produce una bifurcación subcrítica o de doblamiento del período. La intermitencia caótica se puede estudiar usando mapas de Poincaré. Por lo tanto, quedará determinada por: 1) un mapa local específico y 2) un mecanismo de reinyección. El mapa local determina el tipo de intermitencia, y el mecanismo de reinyección permite que las trayectorias regresen desde el comportamiento caótico hacia la zona local o laminar. Este mecanismo se describe mediante la llamada función densidad de probabilidad de reinyección (RPD por sus siglas en inglés), que está determinada fundamentalmente por la dinámica caótica del sistema. La RPD establece la probabilidad de que las trayectorias se reinyecten en la zona laminar (cerca del punto fijo inestable). La función RPD junto con el mapa local permiten describir el proceso de la intermitencia. La evaluación precisa de la función RPD es muy importante para describir correctamente el fenómeno de intermitencia caótica. Aun así, la determinación experimental o numérica de la función RPD no es una tarea simple debido a la gran cantidad de datos necesarios. Diversos enfoques han sido utilizados para obtener la función RPD. Los principales resultados en la teoría clásica de intermitencia caótica se obtuvieron considerando reinyección uniforme en la zona laminar. Otros enfoques implementados construyen la RPD usando características particulares de los procesos no lineales en estudio, pero que no pueden ser generalizados a otros mapas. Una metodología más general para obtener la RPD, llamada aquí la metodología de la función M, que incluye la reinyección uniforme como un caso particular, se ha introducido desde el 2010. Esta metodología establece una la ley de potencia generalizada para describir la RPD y ha demostrado ser muy precisa en una amplia clase de mapas unidimensionales que exhiben intermitencias tipo I, I I y I I I. En la tesis, ampliamos la metodología de la función M y desarrollamos nuevos esquemas con la finalidad de obtener las funciones y variables características de la intermitencia y describir los siguientes temas: 1 - Fundamento teórico de la metodología de la función M. 2 - Intermitencia tipo I I I con ruido y con límite inferior de reinyección. 3 - Intermitencia tipo V. 4 - Intermitencia con funciones M no lineales (aplicación del operador Perron-Frobenius). Fundamentos teóricos de la metodología de la función M: hemos desarrollado métodos analíticos para estimar la función RPD. Hemos considerado las derivadas nulas o infinitas del mapa en los puntos previos a la reinyección. Una vez que se estableció la función RPD teórica, hemos estimado una expresión analítica para la duración de la fase laminar. El estudio incluye una generalización de la teoría clásica de la intermitencia. Intermitencia con ruido y con límite inferior de reinyección: hemos ampliado la metodología de la función M para considerar diferentes valores de la intensidad del ruido y del límite inferior de reinyección (LBR por sus siglas en inglés) actuando simultáneamente en intermitencia tipo I I I . Hemos obtenido expresiones analíticas para la RPD que depende del comportamiento no lineal del mapa, el valor del LBR y la intensidad del ruido. Tipo intermitencia V: hemos utilizado la metodología de función M para obtener expresiones analíticas para la densidad de probabilidad de reinyección y la densidad de probabilidad de las longitudes laminares. Hemos encontrado que éstas pueden ser funciones no diferenciables cuando el mapa local tiene un punto no diferenciable dentro del intervalo laminar. Intermitencia con funciones M no lineales: hemos desarrollado un nuevo esquema para calcular la RPD, el mismo utiliza el operador de Perron-Frobenius. El nuevo esquema ha demostrado muy buena precisión con los resultados numéricos cuando M es una función no lineal. Hemos aplicado el nuevo esquema a las intermitencias tipo I I y V. ----------ABSTRACT---------- Intermittency has been observed in several physical, chemical, economic and medical systems. The accurate description of intermittency helps to improve the knowledge about these phenomena. On the other hand, the proper characterization of intermittency has great importance for systems whose exact governing equations are totally or partially unknown. Classically, intermittency has been classified in type I, II and III intermittencies according to the Floquet multipliers of the continuous-system periodic solution or to the fixed point eigenvalues in the local Poincar map. For these types of intermittency, when a control parameter exceeds a threshold value, a fixed point of the local Poincar map (or a periodic solution of the system) becomes unstable or even vanishes. Type I intermittency appears when a multiplier leaves the unit circle across +1, then the periodic solution (orbit) loses its stability by a cyclic-fold bifurcation. Type II intermittency departures from a subcritical Hopf bifurcation or a Neimark-Sacker bifurcation, then two complex-conjugate multipliers of the system move away from the unit circle. Type III intermittency is produced when a multiplier leaves the unit circle by -1. In this case a subcritical period-doubling bifurcation occurs. Chaotic intermittency may be studied using Poincar maps. Then, two main features characterize chaotic intermittency: 1) a specific local map and 2) a reinjection mechanism. The local map determines the intermittency type, and the reinjection mechanism maps back the system into the local regular or laminar zone from the chaotic one. This mechanism is described by the so-called reinjection probability density function (RPD), which is determined by the chaotic dynamics of the system itself. The RPD gives the probability that trajectories are reinjected into the laminar zone –close to the unstable fixed point–, and together with the local map allow to describe the intermittency process. The accurate evaluation of the RPD function is extremely important to correctly describe the chaotic intermittency phenomenon. Still, the experimental or numerical evaluation of the RPD function is not a simple task due to the huge amount of data needed. Diverse approaches were used to obtain the intermittent RPD function. The main results on classical chaotic intermittency was based on uniform reinjection on the laminar region. Other implemented approaches build the RPD using peculiar features of the nonlinear processes. A more general methodology to obtain the RPD, called here M function methodology, which includes the uniform reinjection as a particular case, was introduced in the last years. This methodology establishes a generalized power law reinjection and it has shown to be very accurate for a wide class of one-dimensional maps exhibiting type I, II and III intermittencies. In the thesis, we extend the M function methodology and develop new schemes to obtain the intermittency characteristic functions and to describe the following topics: 1 - The theoretical background of theM function methodology. 2 - Type III intermittency with noise and with lower reinjection boundary. 3 - Type V intermittency. 4 - Intermittency with nonlinear M functions (application of the Perron-Frobenius operator). Theoretical background of the M function methodology: we have developed analytical methods to estimate the RPD function. We have considered the null or infinite derivatives of the map at the pre-reinjection points. Once the theoretical RPD function was established, we have estimated an analytic expression for the length of the laminar phase of intermittent behaviors. We have carried out a generalization of the classical intermittency theory. Intermittency with noise and with lower reinjection boundary: We have extended the M function methodology to consider different values of the noise intensity and the lower boundary of reinjection (LBR) acting at the same time for type III intermittency. We have obtained accurate analytic expressions for the reinjection probability density which depends on the non-linear behavior of the system or map, the LBR value and the noise intensity. Type V intermittency: we have used the M function methodology to obtain the analytical expressions for the reinjection probability density and the probability density of laminar lengths.We have found that these functions can be nondifferentiable functions when the local map has a nondifferentiable point inside the laminar interval. Intermittency with nonlinear M functions. We have developed a new scheme to calculate the RPD, which uses the Perron-Frobenius operator. The new scheme has shown very good accuracy with the numerical results whenM is a nonlinear function.We have applied the new scheme to type II and V intermittencies.