Tesis:
Caracterización de la estructura del espacio de fases de sistemas hamiltonianos mediante indicadores dinámicos
- Autor: BENÍTEZ GAMERO, Pedro
- Título: Caracterización de la estructura del espacio de fases de sistemas hamiltonianos mediante indicadores dinámicos
- Fecha: 2018
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S. DE INGENIEROS AGRONOMOS
- Departamentos: INGENIERIA AGROFORESTAL
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/53189/
- Director/a 1º: BENITO ZAFRILLA, Rosa María
- Director/a 2º: LOSADA GONZÁLEZ, Juan Carlos
- Resumen: En el estudio de sistemas dinámicos que pueden ser descritos mediante una función hamiltoniana, los grados de libertad del sistema (también denominados dimensión del sistema) juegan un papel fundamental a la hora de enfocar su caracterización. Mientras que existen herramientas matemáticas bien definidas para visualizar y estudiar la estructura regular o caótica de sistemas de dos grados de libertad (2D), como por ejemplo la superficie de sección de Poincaré, en el caso de tres grados de libertad (3D), la situación es mucho más complicada y no está completamente resuelta. Esto es debido a que en este caso el espacio de fases tiene dimensión 6 o 5 si la energía total del sistema se conserva. En esta tesis proponemos una metodología que permite caracterizar de forma completa el espacio de fases de sistemas hamiltonianos mediante indicadores dinámicos, que puede aplicarse independientemente de la dimensión del sistema. Hemos usado como sistema hamiltoniano de estudio el sistema molecular LiNC/LiCN de dos y tres grados de libertad. En el modelo de dos grados de libertad se congela el movimiento C-N, mientras que en el modelo de tres grados de libertad se introduce un potencial Morse, que describe de manera realista la interacción entre los átomos de carbono y nitrógeno. En el estudio del sistema 2D utilizamos el índice SALÍ (Small Alignment Index) para caracterizar la dinámica vibracional de nuestro sistema. Este índice se basa en analizar cómo se separan trayectorias cercanas mediante un algoritmo muy eficiente que es independiente de la dimensionalidad del sistema. Utilizando los valores numéricos mínimos de SALÍ en un periodo determinado de tiempo T (mSALIT), hemos podido realizar una completa caracterización de las diferentes dinámicas que aparecen en este sistema. En particular, hemos demostrado que SALÍ permite determinar la naturaleza regular o caótica de las trayectorias, así como diferenciar entre ”caos fuerte” y ”caos suave”, distinguiendo el diferente comportamiento dinámico de trayectorias cercanas a órbitas periódicas y a cantoros. SALÍ resulta ser una poderosa herramienta en dinámica no lineal, que aporta información complementaria a las Superficies de Sección de Poincaré (SSP). Hemos definido diagramas y mapas, mediante diferentes aplicaciones que asignan un valor de SALÍ (en el intervalo [0, v2l) a cada condición inicial de un determinado subconjunto del espacio de fases. Para visualizar los distintos mapas hemos desarrollado visualizaciones en las que el valor de SALÍ se representa mediante un código de colores. Variando el subconjunto de condiciones iniciales sobre el espacio de fases, hemos construido el diagrama de bifurcación con SALÍ; las SSP con SALÍ (en los que se asigna el mismo valor de UISALIT a los cortes correspondientes a la SSP de una misma trayectoria) y los mapas de SALÍ, donde las condiciones iniciales se encuentran sobre la SSP. Estos mapas nos han permitido obtener una visión global de la estructura del espacio de fases de nuestro sistema con dos grados de libertad. En el estudio del sistema con tres grados de libertad se han generalizado los mapas de SALÍ utilizados previamente en el sistema 2D, incluyendo el tercer grado de libertad. Hemos desarrollado una metodología de visualizaciones 4D, usando el color como una cuarta dimensión que representa el valor de UISALIT- Por un lado, partimos del plano correspondiente a la SSP del sistema de dos grados de libertad, añadimos una tercera dimensión correspondiente al nuevo grado de libertad y coloreamos cada punto en función de SALÍ. Mediante estas visualizaciones hemos podido caracterizar el espacio de fases del sistema con tres grados de libertad para diferentes valores de la energía vibracional total del sistema. Así mismo hemos demostrado que las zonas caóticas disminuyen cuando las condiciones iniciales implican mayor energía asociada al movimiento C-N, siendo una primera evidencia de que este movimiento está bastante desacoplado del resto. Hemos llevado a cabo un estudio de la proporción de zonas de caos y regularidad en función de la energía total del sistema tanto para el caso 2D como para el 3D. Hemos evidenciado que existe un rango de energías intermedias donde existen zonas de caos suave relacionadas con la existencia de estructuras fractales (cantoros) en el espacio de fases y que a altas energías siempre queda alrededor de un 6 % de zona regular en el espacio de fases. Este valor se alcanza a energías más altas en el caso del sistema 3D. Además, en el caso de 3D el valor asintótico de la proporción de zonas de caos y de regularidad depende del valor inicial de la energía en el tercer grado de libertad, de forma que cuanta más energía vibracional inicial tiene, la proporción de trayectorias regulares es mayor. Esto es una nueva evidencia de que el movimiento en la nueva coordenada está muy desacoplado del movimiento del resto del sistema. Otro indicador dinámico que hemos utilizado en el estudio del sistema 3D es el análisis de frecuencias. Este análisis ha demostrado ser un excelente indicador de caos que permite evidenciar la compleja estructura del espacio de fases de sistemas hamiltonianos, y en particular de sistemas moleculares, independientemente de su dimensión. En esta tesis se presenta un análisis sistemático de la molécula LiCN con tres grados de libertad, complementado, por primera vez en la literatura científica, con el índice SALÍ mediante visualizaciones 4D. Para ello, partimos del plano de relaciones de frecuencias obtenidas para condiciones iniciales sobre la SSP del sistema 2D, añadimos una tercera dimensión correspondiente al nuevo grado de libertad y coloreamos cada punto del espacio en función de su valor de UISALIT- Esto nos ha permitido caracterizar las diferentes zonas del espacio de fases en función de las relaciones de frecuencias entre los tres modos de vibración. Así, por ejemplo, dentro de la zona regular hemos podido encontrar toros de baja dimensionalidad, donde la relación entre dos frecuencias es un número racional, pero la relación del tercera frecuencia con las otras dos es un número irracional. También hemos definido un nuevo mapa de SALÍ y su correspondiente visualización 4D, que se basa en el estudio de las energías cinéticas medias, que complementa la información aportada por el análisis de frecuencias. De esta forma podemos mapear, usando visualizaciones 4D, el espacio de fases en el espacio de frecuencias y en el espacio de energías, lo que nos permite obtener una visión completa de la estructura dinámica del sistema y realizar una correcta interpretación. Hemos comprobado como para el sistema LiNC/LiCN la aproximación de dos grados de libertad es adecuada y hemos mostrado que la metodología desarrollada permite evidenciar, incluso en este caso, las nuevas estructuras que aparecen en los sistemas de tres grados de libertad, como por ejemplo los toros de baja dimensión. Por último, hemos realizado un estudio exhaustivo del sistema de tres grados de libertad a una energía baja, para poder analizar en ausencia de movimiento caótico cómo influye el nuevo grado de libertad en la dinámica global del sistema. ----------ABSTRACT---------- In the study of dynamical systems that can be described by a Hamiltonian function, the degrees of freedom of the system (also called system dimension) play a fundamental role when it comes to characterize its dynamical behavior. While there are well-defined mathematical tools to visualize and study the regular or chaotic structure of systems of two degrees of freedom (2D), such as the Poincar´e surface of section, in the case of three degrees of freedom (3D), the situation is much more complicated and is not completely resolved. This is because in this case the phase space has dimension 6 or 5 if the total energy of the system is conserved. In this thesis we propose a methodology that allows to completely characterize the phase space of Hamiltonian systems by means of dynamic indicators, which can be applied independently of the dimension of the system. We have used the LiNC / LiCN molecular system of two and three degrees of freedom as a case study of Hamiltonian systems. In the two degrees of freedom model, the C-N movement is frozen, whereas in the three degrees of freedom model, a Morse potential is introduced, which realistically describes the interaction between the carbon and nitrogen atoms. In the study of the 2D system we use SALI (Small Alignment Index) to characterize the vibrational dynamics of our system. This index is based on analyzing how nearby trajectories are separated by a very efficient algorithm that is independent of the system’s dimensionality. Using the minimum numerical values of SALI in a given period of time T (TTISALIT), we have been able to carry out a complete characterization of the different dynamical behaviors that appear in this system. In particular, we have shown that SALI allows to determine the regular or chaotic nature of trajectories, as well as to differentiate between ”strong chao” and ”soft chaos”, distinguishing the different dynamic behavior of trajectories near periodic orbits and cantori. SALI turns out to be a powerful tool in non-linear dynamics, which provides complementary information to the Poincar´e Section Surfaces (SSP). We have defined diagrams and maps, by means of different applications that assign a value of SALI (in the interval [0, v2l) to each initial condition of a certain subset of the phase space. To visualize the different maps we have developed visualizations in which the value of SALI is represented by a color code. By varying the subset of initial conditions on the phase space, we have constructed the bifurcations diagram with SALI; the SSP with SALI (in which the same value of mSALIT is assigned to the cuts corresponding to the SSP of the same trajectory) and the SALI maps, where the initial conditions are on the SSP. These maps have allowed us to obtain a global view of the structure of the phase space of our system with two degrees of freedom. In the study of the system with three degrees of freedom, the SALI maps previously used in the 2D system have been generalized, including the third degree of freedom. We have developed a 4D visualization methodology, using color as a fourth dimension that represents the mSALIT value. On the one hand, we start from the plane corresponding to the SSP of the system of two degrees of freedom, we add a third dimension corresponding to the new degree of freedom and we color each point depending of its mSALIT value. Through these visualizations we have been able to characterize the phase space of the system with three degrees of freedom for different values of the total vibrational energy of the system. We have also shown that the chaotic zones decrease when the initial conditions imply higher energy associated with the C-N movement, being a first evidence that this vibrational mode is quite decoupled from the rest. We have carried out a study of the proportion of zones of chaos and regularity based on the total energy of the system for both the 2D and 3D cases. We have shown that there is a range of intermediate energies where there are zones of mild chaos related to the existence of fractal (cantorus) structures in the phase space and that at high energies there is always around 6% of the regular area in the phase space. This value is reached at higher energies in the case of the 3D system. Furthermore, in the case of 3D, the asymptotic value of the proportion of chaos and regularity zones depends on the initial value of the energy in the third degree of freedom, so that the more initial vibrational energy it has, the proportion of regular trajectories is higher. This is new evidence that the motion in the new coordinate is very decoupled from the movement of the rest of the vibrational modes of the system. Another dynamical indicator that we have used in the study of the 3D system is the frequency analysis. This analysis has proved to be an excellent indicator of chaos that makes it possible to demonstrate the complex structure of the phase space of Hamiltonian systems, and in particular of molecular systems, independently of their dimension. This thesis presents a systematic frequency analysis of the LiCN molecule with three degrees of freedom, complemented, for the first time in the scientific literature, with the SALI index through 4D visualizations. In order to do it, we start from the plane of frequency ratios obtained for initial conditions on the SSP of the 2D system, then we add a third dimension corresponding to the new degree of freedom and we color each space point according to its mSALIT value. This has allowed us to characterize the different zones of the phase space as a function of the frequency ratios between the three vibrational modes. Thus, for example, within the regular zone we have been able to find low dimensionality tori, in which two frequencies have a rational ratio, but the third one has an irrational frequency ratio with the other two. We have also defined a new SALI map and its corresponding 4D visualization, which is based on the study of average kinetic energies, which complements the information provided by the frequency analysis. In this way, by using 4D visualizations, we can map the phase space in the space of frequencies and in the space of energies, which allows us to obtain a complete vision of the dynamic structure of the system and to perform a correct interpretation. We have verified that for the LiNC / LiCN system the approximation of two degrees of freedom is adequate and we have shown that the methodology developed allows to demonstrate, even in this case, the new structures that appear in the system of three degrees of freedom, such as the low dimension tori. Finally, we have carried out an exhaustive study of the system of three degrees of freedom at a low energy level, in order to analyze, in the absence of chaotic movement, how the new degree of freedom influences the global dynamics of the system.