Tesis:
Integrable Lagrangian systems and symmetries
- Autor: CAPARRÓS QUINTERO, Agustín
- Título: Integrable Lagrangian systems and symmetries
- Fecha: 2018
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S. DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACION
- Departamentos: MATEMATICA APLICADA A LAS TECNOLOGIAS DE LA INFORMACION Y LAS COMUNICACIONES
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/53932/
- Director/a 1º: HERNÁNDEZ HEREDERO, Rafael
- Resumen: Esta tesis ha sido escrita por Agustín Caparrós Quintero para optar al grado de Doctor por la Universidad Complutense de Madrid y la Universidad Politécnica de Madrid, tras la finalización de todas las actividades académicas comprendidas el programa doctoral IMEIO (http://www.mat.ucm.es/imeio/). Está basada en la investigación, bajo la supervisión del Dr. Rafael Hernández Heredero, en integrabilidad de sistemas Lagrangianos, un tópico de la Física Matemática. Tras presentar el método de las simetrías formales para la clasificación de ecuaciones integrables, utilizamos su extensión a ecuaciones no evolutivas para obtener nuevos resultados en el campo de los sistemas lagrangianos integrables. Como aplicación, se realiza una clasificación de dichos sistemas de segundo orden y se describe todo el proceso hasta la obtención de las expresiones funcionales exactas para los representantes de las clases encontradas. En esta tesis nos centramos en la extensión a ordenes superiores del método de las simetrías formales para la integrabilidad de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El método extendido se aplica a ecuaciones no evolutivas de orden (2, 4) que aparecen como ecuaciones de Euler-Lagrange de sistemas lagrangianos, cuyas condiciones de integrabilidad son calculadas explícitamente y aplicadas a la clasificación de densidades lagrangianas de segundo orden. Los fundamentos teóricos del método de simetrías formales y de sus extensiones, tal y como se describen en la primera parte, son las provenientes de la teoría de grupos de Lie, invariantes diferenciales y simetrías aplicados a sistemas de ecuaciones diferenciales. Aunque existe un marco teórico más especifico para la determinación de simetrías de problemas variacionales, para los objetivos de esta tesis es suficiente el uso de la teoría general para ecuaciones diferenciales, sin tener en cuenta la estructura variacional. En la segunda parte detallamos las técnicas de cálculo empleadas para la clasificación de sistemas lagrangianos integrables de segundo orden. En el capítulo 5, se presentan los resultados de la clasificación y para algunos de ellos se comprueban contra los fundamentos teóricos del método extendido de simetrías formales para ecuaciones de orden genérico (n,m). Para ello se calculan algunos operadores de recursión en forma explícita para sistemas de tipos bien conocidos como Bussinesq o NLS. ----------ABSTRACT---------- This thesis has been written by Agustín Caparrós Quintero to acquire the PhD degree Doctor por la Universidad Complutense de Madrid y la Universidad Politécnica de Madrid, after completion of all academic activities under IMEIO doctoral program (http://www.mat.ucm.es/ imeio/). It is based on the personal research of the student under guidance of supervisor Rafael Hernández Heredero on the subject of Lagrangian systems integrability, a topic in Mathematical Physics. After introducing the symmetry approach to integrability, an extended formal symmetry approach is used to obtain new results in second order integrable Lagrangian systems. As an application, the classification of such systems is done and described in full detail. All the computational techniques used are detailed as well as the exact functional expressions of the integrable classes representatives. This thesis focuses on the extension to higher orders of the symmetry approach for the integrability of Partial Differential Equation (PDE)s. The extended symmetry approach is applied to non-evolutionary equations of order (2, 4) arising as Euler-Lagrange equations of Lagrangian systems, whose integrability conditions are explicitly computed and applied to the classification of integrable second order Lagrangian densities. The theory underlying the symmetry approach and its extension, as described in part I, is that becoming from Lie groups, differential invariance and symmetries applied to systems of differential equations. Although a more specific theoretical framework exists for the determination of symmetries of variational problems, for the purposes of this Thesis it is enough to use the general theory for differential equations, disregarding the variational structure. In the second part of this thesis we detail the computational techniques employed to derive all cases and expressions in the integrable Lagrangian systems classification. In chapter 5, the classification results are presented and some of them are checked to comply with the theoretical formulation of the extended symmetry approach for equations of generic order (n,m). In order to achieve this, some explicit, non-formal recursion operators are computed and tables of explicit canonical densities are provided. For instance, special cases of second order Lagrangian systems associated with the well-known Boussinesq equation or Non Linear Schrodinger (NLS) equations are studied in detail.