Tesis:
Phenomenological data-driven procedures for the characterization of soft materials
- Autor: CRESPO BARRIOS, José
- Título: Phenomenological data-driven procedures for the characterization of soft materials
- Fecha: 2020
- Materia: Sin materia definida
- Escuela: E.T.S.I. AERONÁUTICA Y DEL ESPACIO
- Departamentos: AERONAVES Y VEHICULOS ESPACIALES
- Acceso electrónico: http://oa.upm.es/63385/
- Director/a 1º: MONTÁNS LEAL, Francisco Javier
- Resumen: From the very early days, materials have become scope of interest. Stone age, iron age, and so on, first epoches were coined by the dominance of materials. Young civilizations already realized the importance of the study of the materials and their properties. It was not until recent centuries that it became a discipline of science. Modelization thrived as an important branch of characterization and prediction of their mechanical behaviour, and mathematics the cornerstone. Already in the XIX century, analytical modelization covered entirely this activity. However, nature does not respond generally to an exact mathematical formula, mainly because of the complexity that implies the reality. In the past century computers emerged, and with them new possibilities to cover the study of all sciences. In particular in the prediction of the mechanical behaviour of complex structures. The Finite Element Method (FEM) boosted engineering to a new era. Nevertheless in some branches of rheology, analytical studies still effectuate an important role. Depending on the circumstances, today there are two mayor ways of characterizing the mechanical behaviour of a material. The first one is with a phenomenological approach, in which an analytical formulation of stored strain energy functions with flexible parameters is fitted to get the closest response to certain referential experimental data. Thus it consists in a minimization problem of a certain error function that quantifies the differences between the reproduction of the experimental data and the data itself. The second way is directly with a Finite Element Analysis (FEA from now on) that comprises both scales the micro and the macro in the same model. The nature of the microscale will be reflected by a basic cell unit called Representative Volume Element or RVE, and the macrostructure of the specimen is covered by repetition of the RVE along of the macroscale, so that the model results in a very fine, heavy numerical mesh. The drawback of this method are the very high computational costs that, in some cases, makes the study unrealizable in practice. We will refer from on to this approach as a complete FEA. In the case of the phenomenological evaluation of stored strain energy functions the procedure is computationally very cheap, but the error functions associated with the guess of the stored energy functions itself have a minimum bigger than zero (considering a numerical zero of computational round-off error). This zero is unreachable because the analytical formulation is a guess, but also a constraint. This implies that the analytical approach cannot numerically solve the system of functional equations that arise from stress-strain equilibrium, but only get an approximate solution of the system (the functional unknowns are the stored strain energy functions, and the functional data are the curves defined by the experimental data). The main line of the contribution of this Doctoral Thesis is the development of data-driven techniques that allow to solve numerically the system of functional equations that govern the behaviour of the solid. The found stored energy functions are expressed spline-wise (i.e. spline functions), with a similar approach as FEM does: the discretization of the domain, in this case applied to the stored energy functions. This approach is a trade-off between the analytical method and the complete FEA. It has the benefits of showing better accuracy than the former, and better computational costs than the latter. As a matter of fact, computational times are of the same order of magnitude than the conventional analytic phenomenological approach. There are also, more qualitative than quantitative positive aspects of this methodology. One is the quantification of the differences between the assumptions that yields the stress-strain system of functional equations, and the complexity of real nature of the mechanical behaviour of the material (fully anisotropic, non-linear, non-affine deformations, etcetera). We will call this difference "assumption error" from now on. Usually, in the analytical approach there is another source of error. This error quantifies the differences between the approximate and the exact mathematical solutions of the system of functional equations generated by the accepted assumptions (leaving experimental noise from the functional data, and machine round-off errors aside). This error exists because the minimization of the analytical formulation leads to a non-zero residual error (i.e. functional equations are not completely satisfied). Let this source of error be called simply mathematical error. Since our data-driven approach aims to erase the mathematical error, this phenomenological procedure offers for the first time (up to the author’s knowledge) the possibility of quantifying the assumption error. Another positive qualitative aspect of this procedure, is that it specifies how many independent experimental data curves are required to determine the energies. The reason behind is that this approach considers the problem as a system of functional equations. Therefore, in order to be a compatible, determinate system, it is required that the number of functional unknowns be the same than the number of independent functional data, as simple as an algebraic system of equations. Finally, also as a consequence, because the number of independent functional data is definite, these are the referential experimental curves that guarantee that the found energy functions will reproduce these referential tests. Usually, energy functions obtained from conventional analytical approach shows unrealistic and unpredictable results out of the referential frame (i.e. stress-strain conditions different from referential experimental data). In opposition to that, energy functions from the procedure developed in this Doctoral Thesis, will reproduce with predictable and reasonable good results the mechanical behaviour out of the referential scenario. In this Thesis further advances of the data-driven methods are made. _ Extension to the compressible regime for different hyperelastic possibilities. _ Extension to invariants beyond the logarithmic strains in the methodology. _ Extension of the procedures beyond the use of the inversion formula. _ Development of algorithms to cover general loading circumstances. _ Extension of the method beyond the Valanis - Landel decomposition. _ Extension to auxeticity for both isotropic and orthotropic materials. ----------RESUMEN---------- Desde siempre los materiales han sido foco de interés. La edad de piedra, la edad de hierro, etc, las primeras épocas se acuñan con el nombre del uso de los materiales que la caracterizan. Las primeras civilizaciones ya se dieron cuenta de la importancia de los materiales y sus propiedades. Ya en los últimos siglos se ha convertido en una disciplina de la ciencia. La modelización prosperó como una rama importante de caracterización y predicción del comportamiento elástico de los materiales, y en el que las matemáticas son la piedra angular. Ya en el s.XIX, la modelización analítica cubrió completamente esta actividad. Sin embargo, la naturaleza no responde generalmente a una fórmula matemática exacta, principalmente debido a la complejidad que implica la realidad. En el siglo pasado surgieron las computadoras, y con ellas nuevas posibilidades para cubrir el estudio de todas las ciencias en general, y en la predicción del comportamiento mecánico de estructuras complejas en particular. El método de elementos finitos (FEM) impulsó la ingeniería a una nueva era. Sin embargo, en algunas ramas como la reología los estudios analíticos siguen desempeñando un papel importante. Dependiendo de las circunstancias, hoy existen dos formas principales de caracterizar el comportamiento mecánico de un material. El primero es con un enfoque fenomenológico, en el que una formulación analítica describe las energías de deformación, que se ajustan con unos parámetros flexibles para obtener la respuesta más cercana a ciertos datos experimentales que se usan de referencia. Por lo tanto, se trata de un problema de minimización de una función de error que cuantifica las diferencias entre la reproducción de los datos experimentales a partir del modelo y los datos en sí. La segunda forma es directamente con un análisis de elementos finitos (FEA de ahora en adelante) completo, que comprende las escalas micro y macro en el mismo modelo. La naturaleza de la microescala se refleja en una unidad básica llamada Elemento de Volumen Representativo (acrónimo inglés RVE), mientras que la macroestructura de la muestra está cubierta por repetición de la RVE a lo largo de todo el volumen del modelo, que da como resultado una malla numérica muy fina y pesada. El inconveniente de este método es el elevado coste computacional. Son costes que, en algunos casos, hacen que el estudio sea irrealizable en la práctica. En adelante nos referiremos a este enfoque como un FEA completo. En el caso del enfoque fenomenológico, la evaluación de las funciones de energía sale muy barata, pero las funciones de error minimizadas que dieron lugar a la expresión analítica de dichas funciones de energía tienen un mínimo mayor de cero (considerando el cero como un cero numérico, con la correspondiente tolerancia numérica). Esto es en parte porque la prescripción analítica supone una restricción para alcanzar el cero numérico en las funciones de error. Esto implica que el enfoque analítico no puede resolver numéricamente el sistema de ecuaciones funcionales que surgen del equilibrio tensión-deformación, sino que solo obtiene una solución aproximada del sistema (las incógnitas funcionales son las funciones de energía de deformación almacenadas, y los datos funcionales son las curvas definidas por los datos experimentales). La contribución principal de esta Tesis Doctoral es el desarrollo de técnicas basadas en datos experimentales que permitan resolver numéricamente el sistema de ecuaciones funcionales que rigen el comportamiento del sólido. Las funciones de energía despejadas del sistema de ecuaciones se expresan en forma de spline (es decir, funciones de spline), con un enfoque similar al de FEM: la discretización del dominio, en este caso aplicada a las funciones de energía almacenada. Este enfoque de esta Tesis es una relación de compromiso entre el método analítico y el FEA detallado. Tiene los beneficios de mostrar una mejor precisión que la primera, y mejores costes computacionales que la segunda. De hecho, los tiempos computacionales son del mismo orden de magnitud que con el enfoque fenomenológico analítico convencional. También hay aspectos positivos más cualitativos que cuantitativos de esta metodología. Una es la cuantificación de las diferencias causadas por la aceptación de determinadas hipótesis simplificativas en comparación con la complejidad de lo real (deformaciones completamente anisotrópicas, no lineales, no afines, etc.). Llamaremos a esta diferencia "error por hipótesis". Por lo general, en el enfoque analítico hay otra fuente de error. Este error cuantifica las diferencias entre las soluciones matemáticas aproximadas y exactas del sistema de ecuaciones funcionales generadas a partir de dichas hipótesis simplificativas (dejando de lado el ruido experimental de los datos funcionales y los errores de redondeo de la máquina). Este error existe porque la minimización de la formulación analítica conduce a un error residual distinto de cero (es decir, las ecuaciones funcionales no están exactamente resueltas). Para diferenciarlo del anterior error, llamaremos a éste error matemático. Dado que nuestro enfoque data-driven tiene como objetivo anular el error matemático, este procedimiento fenomenológico ofrece por primera vez (según nuestro conocimiento) la posibilidad de cuantificar el error de hipótesis. Otro aspecto cualitativo positivo de este procedimiento es que especifica cuántas curvas de datos experimentales independientes se requieren para determinar las energías. La razón subyacente es que este enfoque considera el problema como un sistema de ecuaciones funcionales. Por lo tanto, para ser un sistema compatible y determinado, se requiere que el número de incógnitas funcionales sea el mismo que el número de datos funcionales independientes, algo tan simple como un sistema algebraico de ecuaciones. Finalmente, también como consecuencia, debido a que el número de datos funcionales independientes es definido, se sabe que las curvas experimentales empleadas son la referencia que garantiza que las funciones de energía encontradas reproducirán precisamente esas referencias. Las funciones de energía obtenidas a partir del enfoque analítico convencional pueden mostrar resultados poco realistas e impredecibles fuera del marco referencial (es decir, condiciones de tensión-deformación diferentes de los datos experimentales referenciales). En oposición a eso, las funciones de energía del procedimiento desarrollado en esta Tesis Doctoral, reproducirán con buenos resultados predecibles y razonables el comportamiento mecánico fuera del escenario referencial si las hipótesis de partida son adecuadas. En esta Tesis se han desarrollado los siguientes avances de los procedimientos data-driven. _ Extensión al régimen compresible para distintas posibilidades hiperelásticas. _ Extensión de uso de invariantes más allá de los logarítmicos. _ Extensión de los procedimientos más allá de la fórmula de inversión. _ Desarrollo de los algoritmos para cubrir condiciones de ensayo generales. _ Extensión del método más allá de la descomposición Valanis-Landel. _ Extensión al régimen auxético de materiales isótropos y ortótropos.